引領(lǐng)學(xué)生思維向縱深發(fā)展

【教學(xué)片段】

這是一節(jié)關(guān)于“圓的面積”計(jì)算的練習(xí)課，在基本練習(xí)之后，教師依次出示一組練習(xí)題課件。

1.一張正方形紙的邊長(zhǎng)是10厘米，把這張紙剪成一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？（如下圖所示）

2.一張正方形紙的面積是144平方厘米，把這張紙剪成一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？

3.一張正方形紙的面積是80平方厘米，把這張紙剪成一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？

學(xué)生對(duì)第1題都能用常規(guī)的方法解答。

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)第1題的解題思路與方法？

生：這個(gè)圓的面積是3.14×（）2=3.14×25=78.5（平方厘米）。我是這樣想的：要求圓的面積必須知道圓的半徑，正方形的邊長(zhǎng)與圓的直徑相等，先用正方形的邊長(zhǎng)除以2算出圓的半徑，然后再運(yùn)用公式算出圓的面積。

第2題按照一般的解法，需要知道正方形的邊長(zhǎng)，可是題目中提供的是正方形的面積。雖然144是一個(gè)完全平方數(shù)，但是對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)卻也不容易湊出，學(xué)生的思維受阻。這時(shí)，教師進(jìn)行了提示。

師：正方形的面積是144平方厘米，你能算出它的邊長(zhǎng)嗎？

生：正方形的面積是144平方厘米，144等于一個(gè)數(shù)的平方。

生：也就是144是兩個(gè)相同數(shù)的乘積。

生：我用了湊數(shù)法，10×10=100，11×11=121，12×12=144，所以這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米。

生：我用了分解質(zhì)因數(shù)法：144=2×2×2×2×3×3，所以144=12×12，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米。

有了正方形的邊長(zhǎng)，學(xué)生很快地解決了第二個(gè)問(wèn)題，圓的面積是3.14×（）2=3.14×36=113.04（平方厘米）。

有了第2題的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生認(rèn)為第3題只要根據(jù)正方形的面積找出正方形的邊長(zhǎng)就可以了。可是80并不是一個(gè)完全平方數(shù)，用湊的方法是湊不出正方形的邊長(zhǎng)了，學(xué)生陷入了思維的困境。

這時(shí)教師適時(shí)點(diǎn)撥：是啊，80不是一個(gè)完全平方數(shù)，用我們現(xiàn)有的方法求不出正方形的邊長(zhǎng)是多少。那么如果不求出正方形的邊長(zhǎng)，能求出圓的面積嗎？

經(jīng)小組討論交流，學(xué)生漸漸有了自己的想法。

組1：我們組是這樣想的，設(shè)圓的半徑是r，那么這個(gè)圓的面積是3.14r2；正方形的邊長(zhǎng)是圓的直徑，也就是2r，所以正方形面積是4r2，由此可以知道圓的面積是正方形的。圓的面積就等于正方形的面積乘，圓的面積=80×=62.8（平方厘米）。

組2：我們組是這樣想的，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是a，那么圓的半徑是，正方形的面積是a2，圓的面積是3.14×（）2=a2，因?yàn)檎叫蔚拿娣e是80平方厘米，所以圓的面積是80×=62.8（平方厘米）。

師：你們兩個(gè)小組真棒，用字母表示正方形的邊長(zhǎng)和圓的半徑，找出了它們與面積之間的關(guān)系，也就能求出圓的面積。如果正方形的面積是200平方厘米，你能算出圓的面積嗎？正方形的面積是a平方厘米，圓的面積是多少呢？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這里的圓的面積其實(shí)就是正方形面積的。

【反思】

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，是思維活動(dòng)的過(guò)程，更是促進(jìn)其思維發(fā)展的過(guò)程。在上述片段里，層層遞進(jìn)的題組設(shè)計(jì)，不斷打破平衡的思維沖突，在教師的點(diǎn)撥下不斷提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、打破平衡，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

在進(jìn)行了一定量的常規(guī)練習(xí)后，學(xué)生對(duì)圓周長(zhǎng)的計(jì)算方法已基本掌握并形成了一定的技能，如果再繼續(xù)做一些常規(guī)性的練習(xí)，其作用也只能是機(jī)械重復(fù)，學(xué)生的思維只能停留在原有的認(rèn)知層面上，甚至對(duì)練習(xí)失去興趣。因此只有打破學(xué)生已有的平衡，讓學(xué)生在對(duì)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題的思考中不斷建立平衡。

第一個(gè)問(wèn)題無(wú)疑是基本的問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)已有的圓的面積公式就能較容易地求出，此時(shí)雖然圓的半徑?jīng)]有直接給出，但是示意圖中的正方形的邊長(zhǎng)是學(xué)生尋求平衡的拐杖；第二個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)，打破了學(xué)生已有的平衡，根據(jù)第1題的經(jīng)驗(yàn)，要先求出正方形的邊長(zhǎng)，學(xué)生根據(jù)正方形的面積是144平方厘米，運(yùn)用列舉、分解質(zhì)因數(shù)等方法求出正方形的面積，實(shí)現(xiàn)了平衡；對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)不能求出正方形的邊長(zhǎng)，又一次打破了平衡。這時(shí)圓的面積該怎樣求呢？學(xué)生在分組討論、交流中，借助字母再次實(shí)現(xiàn)了平衡，發(fā)現(xiàn)根據(jù)正方形與圓的面積關(guān)系同樣可以求出圓的面積。

這三個(gè)問(wèn)題的層次是不一樣的，在層層深入的思考中，不斷激發(fā)學(xué)生的思考熱情，激活了學(xué)生的思維。

二、建構(gòu)模型，提升學(xué)生的思維品質(zhì)

練習(xí)的終極目標(biāo)不是就題講題，學(xué)生會(huì)做題不一定就完成了教學(xué)任務(wù)。數(shù)學(xué)練習(xí)的關(guān)鍵是看學(xué)生的思維品質(zhì)是否得到提升。上述片段中，教師不滿(mǎn)足于解題，還滲透著數(shù)學(xué)模型的思想，幫助學(xué)生在解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)模型的建構(gòu)。

教師借助題組訓(xùn)練，改動(dòng)題中數(shù)據(jù)，從特殊（完全平方數(shù)）到一般（非完全平方數(shù)），讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析發(fā)現(xiàn)了圓面積與正方形面積之間的關(guān)系，成功建立起數(shù)學(xué)模型。在建立數(shù)學(xué)模型后，教師又在此基礎(chǔ)上稍作修改，促使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，此舉大大提高了學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的自覺(jué)性和主動(dòng)性，從而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

縱觀整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程，經(jīng)歷了逐層抽象，運(yùn)用列舉、推理等方法建立了數(shù)學(xué)模型，利用模型解決問(wèn)題的過(guò)程，在解題過(guò)程中提升了思維品質(zhì)。

三、適時(shí)啟發(fā)，引領(lǐng)思維向縱深發(fā)展

由于學(xué)生的知識(shí)水平和閱歷都有限，在多數(shù)情況下學(xué)生的思維不可能自發(fā)地得到提升和完善。在他們學(xué)習(xí)困惑處，似懂非懂、欲言難言時(shí)，恰恰最需要教師的啟發(fā)。

在上述片段中，第1題，無(wú)疑是解決圓的面積的基礎(chǔ)，然而在第2題出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了困惑，教師給出了提示：“你能算出正方形的邊長(zhǎng)嗎？”在第3題學(xué)生無(wú)法找尋出正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，教師適時(shí)提示：“那么如果不求出正方形的邊長(zhǎng)，可以求出圓的面積嗎？” 隨著條件的變化，在學(xué)生越來(lái)越覺(jué)得根據(jù)正方形的面積求不出邊長(zhǎng)時(shí)，教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，激起了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望。在學(xué)生用字母假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)或圓的半徑后，發(fā)現(xiàn)了這類(lèi)問(wèn)題中圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系。

這些有價(jià)值的引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生冷靜思考。如果沒(méi)有教師的啟發(fā)，學(xué)生的推理與想象、概括與發(fā)現(xiàn)怎么可能自發(fā)地產(chǎn)生？發(fā)展學(xué)生的思維也就成了一句空話(huà)。在教師有目的的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維一步步走向深入。

（浙江省杭州市余杭區(qū)育才實(shí)驗(yàn)小學(xué) 311100）