關于“比和比例”的質疑與困惑

編者按：馬海濱老師在教學“比和比例”有關內容后，對學生提出的質疑和感到困惑的問題進行了整理，并發表了自己的意見。本刊特刊登相關文章，熱忱歡迎大家來稿參與討論。

筆者僅是一名小學數學教師，對數學教材中的概念、定義的科學性自然很難下準確的判斷，提出修改建議更顯知識與能力上的不足。可是，二十多年的一線教學實踐，又常常讓教師無法回答學生的一些質疑。在一次教材分析研討會上，筆者整理了一些有關“比和比例”的問題，引起了與會教師與教研員的關注，成了大家的共同困惑，想借貴刊一角，討教同仁與專家。

一、關于“比”的定義

許多小學數學教材都是把比定義為“兩個數相除又叫做兩個數的比”。對此，學生往往有諸多質疑。

1.既然兩數相除又叫做兩數的比，我們已經學過除法，為什么還要學習比？

這是學生在學習“比的意義”第一課時后的質疑。人教版教材在下定義之前，舉的實例是：楊利偉在航天飛船上展示的聯合國旗與中國國旗的長15cm、寬10cm，可以用除法表示長是寬的幾倍或寬是長的幾分之幾，有時我們也把這兩種數量關系說成長和寬的比是15比10或者寬與長的比是10比15。教師另外提供的實例往往也是類似教材上的一組定量之間的相除關系。最后得出“兩數相除又叫做兩個數的比”。這些實例無疑佐證了學生的質疑，教師往往無言以對，或者無奈地告訴學生比與除法是有不同的，只要繼續學習下去，就會明白比在數學上會很有用。

2. 2∶3∶5是比嗎？為什么不是兩個數相除？連比是連除嗎？

人教版六年級上冊第50頁有一道練習題：水泥、沙子和石子的比是2∶3∶5，要攪拌20噸這樣的混凝土，需要水泥、沙子和石子各多少噸？通過練習，學生反過來會告訴教師，2∶3∶5好像不是兩數相除或幾個數相除的關系，只是表示水泥、沙子和石子三種量始終要保持的一種比例關系。教師除了肯定與表揚學生之外，往往不知道該不該跟學生討論比例還是一個六年級下冊將要學習的新知識。

3.第一組男生5人、女生4人，男女生之比是5∶4，我們第二組男生9人、女生0人，為什么男女生之比不能是9∶0呢？

作為教師當然會告訴學生，比的后項相當于除法中的除數、分數中的分母，均不能為0，否則沒有意義。9是0的幾倍，把9平均分成0份，確實是沒有意義，可是兩組男女生人數關系雷同，為什么它們的相比關系卻有一個沒有意義？如果說第二組男女生人數之比9∶0沒有意義，那么第一組男女生人數之比5∶4，又有什么意義呢？況且，若體育比賽中男生共打進5個球，女生共打進4個球，比賽結果為5∶4，這個比與不是變量的男女生人數之間的比的含義，又有什么本質區別呢？試想，教師對這個質疑的理答又有多強的說服力呢？

因此，筆者始終認為，比不僅僅是兩數相除的關系，而應該是幾個變量之間始終保持不變的一種倍率關系。如果這種說法成立的話，比的含義不是跟比例的含義差不多了嗎？怎么辦？

二、關于“比例”的定義

小學數學教材上是這樣定義比例的：表示兩個比相等的式子叫做比例。對此，學生同樣會出現很多的質疑。

1.正比例可以用=k（一定）表示，正比例是表示兩個比相等的式子嗎？

表面上看好像只有一個比，而非兩個比相等的式子；細細思考，又好像是表示很多比值相等的比，而非僅表示兩個比相等。如何讓學生理解這里所說的兩個比其實是指很多比值相等的比呢？

2.反比例可以用x×y=k（一定）表示，為什么反比例不僅沒有表示兩個比相等的式子，而且連表示兩個數相除的比都沒有呢？

關于正比例與反比例，筆者利用教材上的實例，整理了一張分析對照表（見下表）。

表中的“變式”正是教材直接呈現給學生的知識，其中的反比例式子最容易引起學生的質疑。筆者認為，無論正比例還是反比例的含義都還是上表中的“原型通式”更直觀，更利于學生對比例的理解。

另外，“原型通式”中的兩個比例式均是同類量的比，而“變式”中的正比例式子卻是一組非同類量的比，這正好是特級教師王永所極力反對的，他始終認為比應該是同類量之間的比。筆者不完全認同王老師的觀點，只是想說明這里的“原型通式”本來就是同類量之間的比。

三、關于“比和比例”的相互關系

人教版小學數學教材上的比和比例有各自清晰的定義：比就是兩個數相除，比例就是兩個比相等的式子。前者是一種相除關系，后者是一個等式，而且后者有包含前者之意。可是，兩者的關系一直讓人不得不去質疑。

1.“將100克水按照 2∶3 分開各是多少”這樣的分配方式到底叫按比例分配，還是叫按比分配？這到底是比的應用，還是比例的應用呢？

筆者發現，早期人教版與浙教版教材，均叫做按比例分配，且目前很多老教師都習慣于這樣的說法。可是，學生在學習這種分配方式之前僅僅學習過比的有關知識，根本沒有接觸過比例一詞，那為什么教材要稱之為按比例分配呢？也許正因這一質疑，某特級教師將此公開課的課題改為“按比分配”，現行的人教版教材稱之為“比的應用”。當初對此更改頗覺有理，后細想還是按“比例分配”更為合理，因為這種分配的過程與結果中均要遵循比值一定，也就是說分配結果的比與分配要求的比，一定要成比例關系。如果這個分配方式一定要說是比的應用，那么日后所謂的比例應用其實都應該叫比的應用。

2.“圖上距離與實際距離的比叫做比例尺”，是不是應該叫做“比尺”？這個為什么不是比的應用而是比例的應用呢？

過去的教材有關比例尺知識的教學是安排在比的教學之后、比例的教學之前，這就很容易讓人產生比例尺與比例的先后學習順序倒置的感覺。也許正是這個原因，現行人教版教材將比例尺有關內容調整到比例的教學之后，置于比例的應用一節中。可是，不管置于何處，比例尺還是圖上距離與實際距離的比，它還是一個比，而非教材所說的表示兩個比相等的式子即比例，求圖上距離或實際距離的計算，實質上就是根據比例尺（即一個指定的比）分配相應的數值而已，與比例分配本質相同，為什么它卻是屬于比例的應用而非比的應用呢？

比的應用與比例的應用很難分清楚，而且是否有必要分清楚呢？比和比例的定義及關系真的像教材中所述那樣清晰嗎？

筆者認為，比和比例的應用不容易分清楚的主要原因是，比和比例有著密不可分的聯系，都是指幾種關聯的變量之間的倍率關系，也就是比例關系或者比的關系。

數學與生活有著緊密的聯系，但是也有著本質的區別。在現實生活中，比的關系其實就是比例的關系。例如，按照4∶3的比例關系（其實是比）配置一種由某兩種物質組成的混合物，這里的4∶3到底是比還是比例呢？筆者認為一般的成年人都很難分清，且也沒有必要分清楚，而我們是否要求學生分清楚呢？

四、關于“比和比例”的教材

1.整體編排上不夠合理

現行人教版小學數學教材對比和比例有關知識的編排作了較大的調整。將過去教材六年級下冊的“比和比例”單元一分為二，在六年級上冊分數除法單元中安排“比和比的應用”，目的是加強比與分數以及除法的聯系，為教學圓周率、百分率等打好基礎；在六年級下冊安排“比例”，同時將比例尺的知識劃分在“空間與圖形”領域中的“圖形與變換”中。

這樣的編排，把有著密不可分的、甚至同樣表示兩種相互關聯的變量之間的倍率關系的比與比例的內容人為地割裂開來，筆者認為不太合理。

2.正比例意義的表述不夠簡潔

過去教材是這樣定義正比例的：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。給人的感覺是倒述、繞口，因為所謂的兩關聯的量，就是一種量隨另一種量的變化而變化。

現行人教版教材是這樣表述正比例的：因為杯子的底面積一定，所以水的體積隨著高度的變化而變化。水的高度增加，體積也相應增加，水的高度降低，體積也相應減少，而且水的體積與高度的比值一定，我們就說體積和高度成正比例關系，體積與高度叫做成正比例的量。顯而易見，采用舉例描述顯得冗長，可能正是這樣的原因，后又改為與以前的教材一模一樣的表述。

筆者組織了一個不成熟的表述：一種量隨另一種量的變化而變化，且這兩種相關聯的量的所有對應數據的比值一定，這兩種量叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。

以上關于比和比例的各種困惑、質疑與思考，大部分來自學生的學習交流過程，面對學生的質疑，筆者作了些深入思考與整理，因此也談了某些觀點試圖解決問題，可是深知自身知識儲備不足，觀點乏力，甚至是錯誤的想法。但是，我們都提倡以學定教，既然學生在學習中遇到了不少困惑，作為教師就應相應地完善自己的教學行為，而前提是要有正確的知識理解。因此，期盼同事與專家賜教。

（浙江省溫嶺市橫湖小學 317502）