運用對立統(tǒng)一觀點，搞好有余數(shù)除法的教學

“對立統(tǒng)一”是辯證唯物主義的一個基本觀點，教師只有掌握這一辯證觀點，才能正確地駕馭教材，搞好有余數(shù)除法的教學。在進行教學之前，教師首先要對“0”的雙重意義進行一些探究。

在數(shù)學發(fā)展的歷史中，0的出現(xiàn)比起其他自然數(shù)要晚得多，代表缺位符號的0直到公元6世紀才從印度引進：當某個數(shù)位上一個單位也沒有時，便用0來表示。用近代集合論的觀點來看，如果一個集合中只有n個元素，這個n就稱為這個集合的基數(shù)。單元素集中只有一個元素，所以單元素集的基數(shù)便是1。沒有元素的集合稱為空集，因而空集的基數(shù)便是0。所以，通常認為：非零自然數(shù)1，2，3，…表示的是“有”，而0表示的是“無”。

然而，切莫把這種認識絕對化了，用辯證的觀點看，0還有表示“有”的一面。如某天的氣溫是0℃，總不能說這天沒有溫度吧！因為0畢竟是一個確定的數(shù)呀！0℃比零上3℃低3℃，而又比零下1℃高1℃。0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，0是唯一的中性數(shù)。又如，在中學數(shù)學中我們還知道，一條直線l的傾斜角α的正切，稱作這條直線l的斜率。0°角的正切為0， tan0°=0，但我們說這個傾斜率是存在的，真正不存在的是90°角的正切！所以任何平行于x軸的直線都屬于有斜率的直線，只有垂直于x軸的直線才是斜率不存在的直線。

由是觀之，0既可表示“無”，又可表示“有”，有了這種辯證認識，才可能把有余數(shù)的除法知識教好教活。

人教版義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》三年級上冊第49頁編入了“有余數(shù)的除法”內(nèi)容。在第50頁上有一個擺花布置會場的例1。先擺15盆花，每組擺5盆，可以擺幾組？橫式為：15÷5=3（組） ，豎式為：

這題講的是整除。

在第51頁上又有例2。一共有23盆花，每組擺5盆，最多可以擺4組，還多3盆。可以用這樣的式子來表示：23÷5=4（組）……3（盆）

這題講的是有余數(shù)的除法。

在第52頁上還安排了例3。如果上例中一共有16盆花，可以擺幾組？多幾盆？如果是17盆，18盆，……，24盆，25盆？

15÷5=3（組）

16÷5=3（組）……1（盆）

17÷5=3（組）……2（盆）

18÷5=3（組）……3（盆）

19÷5=3（組）……4（盆）

20÷5=4（組）

21÷5=（組）……（盆）

22÷5=（組）……（盆）

23÷5=（組）……（盆）

24÷5=（組）……（盆）

25÷5=（組）……（盆）

這題是將“整除”與“有余數(shù)的除法”綜合在一起，進行對比和總結(jié)。

作為一名小學數(shù)學教師，照本宣科地講解完這三道例題，應該是不成問題的。但是，通過這樣的教學，在學生的腦海中會形成怎樣的認識呢？筆者認為主要有以下三點：

1.整除是沒有余數(shù)的，只有在有余數(shù)的除法中才出現(xiàn)余數(shù)。

2.一個數(shù)被5除，除數(shù)只有四種情形，即余數(shù)只可能是1，2，3，4。

3.余數(shù)必須小于除數(shù)，但余數(shù)不能為0。

其實，這些認識不僅學生中有，而且在一些專業(yè)知識不夠扎實、對哲學也疏于學習的小學數(shù)學教師中也普遍存在。

值得指出的是：上述認識雖然有其正確的部分（如余數(shù)必須小于除數(shù)），但總體來說，卻沒有真正學通、學透。

為弄清這些問題，不妨先來查閱相關(guān)的數(shù)學專業(yè)書籍。

《小學數(shù)學教師手冊》（人民教育出版社，1982年）第49頁有如下表述：

“判定一個整數(shù)能不能被另一個正整數(shù)整除，只要進行除法運算即可。如果所得余數(shù)為0，就是整除的情況；如果所得的余數(shù)不為0，就是不能整除的情況?！?/p>

《數(shù)學手冊》（人民教育出版社，1979）第1057頁“數(shù)論”的“輾轉(zhuǎn)相除法”一節(jié)中，有如下表述：

“每一個整數(shù)a可以唯一地通過正整數(shù)b表示為a=bq+r （0≤r

《數(shù)學手冊》第1066頁“數(shù)論”的“同余式”一節(jié)中還有如下表述：

“設以m為模，則可將全體整數(shù)分為m類，同類的數(shù)都有同余，不同類的數(shù)都不同余。稱這樣的類為同余類，每類中各取一數(shù)為代表。例如：0，1，2，…，m-1構(gòu)成一個完全剩余類。”

在上述文獻的相關(guān)表述中，無一例外地表明：在整數(shù)除法中，余數(shù)可以為0。

然后，再從哲學的角度來進行分析。在研究整數(shù)除法時，人們起初總是研究其中最簡單的除法情形，正如課本中的例1那樣：15÷5=3，沒有余數(shù)。然后，再研究較復雜的有余數(shù)的除法，如課本中的例2那樣：23÷5=4（組）……3（盆）。其中的“3”就是余數(shù)。所以，人們此時對于能整除的情形和不能整除的情形主要是關(guān)注其“異”：前者沒有余數(shù)而后者有余數(shù)。然而世上一切事物又無不處于運動、變化和發(fā)展之中，所以人們的認識也不應該老是“原地踏步”。因為“沒有余數(shù)”也就是“余數(shù)為0”，所以當我們在轉(zhuǎn)而關(guān)注其“同”的時候，就將“有余數(shù)的除法”進行了一次擴展，把一切除法都看成是有余數(shù)的除法，從而讓“有余數(shù)的除法”把“整除”也包括進去，二者的差別不在于有沒有余數(shù)，而在于余數(shù)是否為0。這樣一來，“整除”就變成了“有余數(shù)除法”的特例。至此，原先相互并列的兩個對立概念就實現(xiàn)了統(tǒng)一。

其實，概念間由對立到統(tǒng)一的這種變化，比比皆是。在小學低年級，把長方形與正方形看成是對立的概念，而在后來，就把正方形集合看成是矩形集合的真子集了。對長方體與正方體的認識與此也大致相同，起初兩者相互對立，后來就統(tǒng)一于長方體集合之中，而把正方體看成是長方體的特例了。在對整數(shù)與分數(shù)的認識上，也經(jīng)歷了同樣的過程。人們先接觸整數(shù)，再接觸分數(shù)，起初，兩者涇渭分明，不容混淆。然而，當人們認識到任何一個非零整數(shù)m都可以寫成分母唯一的分數(shù)，而0也可表示為零分數(shù)（n ∈N*）時，內(nèi)涵擴展后的“分數(shù)”就已經(jīng)包含了“整數(shù)”，原先是并列關(guān)系的兩個對立概念，就形成了包含關(guān)系。整數(shù)集已成為分數(shù)集的一個真子集了。原先說“整數(shù)”與“分數(shù)”統(tǒng)稱為“有理數(shù)”，而現(xiàn)在就可以說：有理數(shù)集就是分數(shù)集了。

對概念的認識，必須經(jīng)由這樣的一個“與時俱進”的過程，否則，老停留在一個地方，割裂地、孤立地看待各個相關(guān)概念，就難以實現(xiàn)認識上由對立到統(tǒng)一的飛躍，就難以理清概念間的關(guān)系，就必然會把活生生的知識教死了。

從數(shù)學與哲學兩個方面做了上述準備后，接下來就可以來探討一下有余數(shù)除法的教學了。

首先，不妨按照課本的編排，先講例1，再講例2。但是在講完例2后，不忙講例3，而是帶領(lǐng)學生回過頭來觀察例1，指著豎式最下面的那個0，告訴學生：這個0的位置也就是例2中余數(shù)3的位置。這個0也就是整除的余數(shù)。過去說整除的沒有余數(shù)，其實，“沒有余數(shù)”也就是“余數(shù)為0”。接著，把橫式“15÷5=3（組）”加以改造，使之成為“15÷5=3（組）……0（盆）”的形式。

最后，在講完了例3時，還應重申一下這一觀點，并在“15÷5=3（組）”和“20÷5= （組）”的后面都添上“……（盆）”，引導學生，使他們學會在“（盆）”的內(nèi)都填上“0”。至此，有余數(shù)除法的教學才算告一段落。

通過這樣的教學，相信學生不僅能認識到在整數(shù)除法中，余數(shù)可以為0、“整除”可以看成是“有余數(shù)的除法”之特例，而且還能認識到一個數(shù)被5除，余數(shù)可能有0，1，2，3，4五種，為后續(xù)學習做好鋪墊。更重要的是，這樣做是向?qū)W生進行了一次對立統(tǒng)一的辯證唯物主義的思想教育，使學生初步懂得用運動、變化、發(fā)展的觀點看問題，從而把數(shù)學知識學通、學透、學活。在零距離、零誤差、零月租、零首付、零關(guān)稅、零利率、零虧損、零增長、零風險、零排放、零障礙、零死亡、零蛀牙、零容忍等詞匯日益風行的當今社會，也不致迷茫和自卑，而是清楚地知道，這些詞匯的鼻祖“零余數(shù)”在教學中早已存在，從而讓數(shù)學的文化風采得到應有的彰顯。

（江西省南昌師范高等專科學校 330006）