國外“估算”案例析

自2012年第10期以來，本刊連續(xù)刊載了關于估算研究的一系列文章。主要內容包括估算方法與策略、估算的意義及其理解、估算教學困難的原因以及估算的育人功能。最后需要研究的是估算內容的課程設計及其教學方面的問題。

縱觀國內外與估算有關的數(shù)學課程內容，大致來說有三種類型。第一種類型是在不數(shù)（音：shǔ）、不量（音：liáng）的情況下直觀估計多少或大小，比如“教室里大約有多少人”或“教室的面積大約是多少平方米”等。第二種類型是把教學重點放在估算方法上，這樣的方法大致來說有三種：數(shù)據(jù)重塑、算式轉換和盈虧互補。[1]第三種類型是利用估算解決問題。

值得注意的是，國外一些關于估算方法的課程內容是與標準算法的課程內容融合在一起的，學生是在不同算法的比較中進行學習的。在利用估算解決問題的課程內容中，有兩點值得借鑒，第一是“問題”不僅包括所謂的實際問題，還有數(shù)學內部概念理解的問題；第二是問題解決過程中細致的思維活動設計。下面通過幾則案例詳細說明。

一、標準算法與估算相互融合

這里所說的標準算法（Standard Algorithm）指的是計算過程程序化的算法，通常所說的“豎式算法（Vertical Algorithm）”就是一種程序化的算法。這種程序化算法的特點是操作步驟清晰、確定，學習者只要記住了這樣的操作步驟，就可以“即使不懂，也能做對”。而且經(jīng)過反復訓練，可以做到“又對又快”。這種教學的弊端在于，在追求結果的正確與過程的迅速的同時，減少了學生應當經(jīng)歷的思維活動，這樣當然不利于學生的思維發(fā)展。[2]在倡導“育人為本”教學理念的今天，就需要改變這種只通過“結果”和“速度”評價學生計算水平的傳統(tǒng)，為此在計算教學中應當提倡算法多樣化，并且重視對不同算法的比較，擴充計算過程中的思維含量。

我國數(shù)學課程中也有所謂“先估后算”或“先算后估”的內容，但通常是對計算結果的比較或檢驗，缺少對不同算法的比較。那么怎樣才能使估算與標準算法融為一體呢？下面以全美數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）1986年題為《估算與心算》的年度報告中“437×8”的教學案例為例進行說明。這一教學案例中，針對“437×8”的計算給出了兩個問題目標，一個是“求出準確結果”（見圖1），另一個是“求出估算結果”（見圖2）。

圖1 豎式標準算法案例

圖2 估算過程案例

在圖1“求出準確結果”的豎式標準算法過程中，強調思考順序是“自右向左”，也就是從“7×8=56”開始計算，而且用箭頭表示出這樣的順序。而在圖2“求出估算結果”的計算過程中，指明思考順序是“自左向右”，即首先計算的是“400×8=3200”，而且說明“3200”就是一個“好（Good）”的估算結果。在此基礎上，如果繼續(xù)計算出“30×8=240”，與前面的3200加起來所得到的3440，就成為了“更好（Better）”的估算結果。

這樣對比式的教學對學生的學習來說至少有四點好處。第一是可以感受到標準算法與估算在思考順序上的不同，前者是從最低位數(shù)字開始，后者往往是從最高位數(shù)字開始思考。第二是可以習得估算方法中數(shù)據(jù)重塑的高位策略（Frond-end），并且滲透了估算區(qū)別于標準算法的兩個特征，一是結果的開放性，二是方法的多元化。第三是可以加深對豎式標準算法算理的理解，這個算理實際上就是“位值制”。在“437×8”的豎式標準算法計算過程中，最后一步的計算通常會背誦口訣“四八三十二”，在估算過程中對“400×8=3200”的計算就暗示了豎式標準算法中這一步計算的不是“4×8=32”。第四是讓學生感受到了算法多樣化，對于過程與方法來說，沒有最好，只有更好。

因此讓估算與標準算法擺脫相互獨立、非此即彼的對立狀態(tài)，使之相互融合，應當是數(shù)學教學研究的一個課題。

二、估算用于概念理解

美國國家教育進步評價協(xié)會（National Assessment

of Educational Progress）于1980年的一項針對13歲（相當于我國的初中一年級）和17歲（相當于我國的高中二年級）兩個年齡組學生的測試中，有這樣一個估算問題：“估算+的結果更接近1、2、19、21中的哪一個數(shù)？”正確答案應當是“更接近2”。測試結果令人驚訝，13歲年齡組的正確率僅為24%，17歲年齡組的正確率也只有37%。[3]測試中發(fā)現(xiàn)，許多學生都試圖利用除法將分數(shù)化為小數(shù)解決問題。由此反映出學生學習過程中的兩個問題，第一是估算意識不強，不管什么情況首先想到的是準確計算；第二是正確率低反映出學生對分數(shù)概念以及分數(shù)大小關系的理解相對薄弱。因此如何將估算與對數(shù)學知識的理解有機結合，就成為了數(shù)學教學需要研究的問題。下面關于“分數(shù)大小分類”的教學案例就是針對這樣的問題設計的（見圖3）。

圖3 “估算與分數(shù)大小分類”案例

圖3案例的教學過程分為兩個環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)是告知學生關于估計分數(shù)大小的三條基本結論：

如果一個分數(shù)的分子相對于分母來說非常小，那么這個分數(shù)接近0；

如果一個分數(shù)的分子大約是分母的一半，那么這個分數(shù)接近；

如果一個分數(shù)的分子與分母很接近，那么這個分數(shù)接近1。

第二個環(huán)節(jié)是在方框內給出了12個分數(shù)，要求學生把這些分數(shù)歸為“接近0、接近、接近1”三類。學生經(jīng)歷了這樣的思考過程，一方面會逐步加深對分數(shù)概念以及分數(shù)大小比較的理解，另外也會逐步提高對估算作用的認識，同時也習得了數(shù)據(jù)重塑中“就近尋求簡單數(shù)”的估算方法。與此類似的還有估算與小數(shù)大小認識的教學案例，比如給出三個小數(shù)，通過比較十分位數(shù)字可以知道：

0.245601更接近0；

0.47803更接近0.5；

0.91更接近1。

三、估算用于解決問題

估算用于解決實際問題的過程中學生需要經(jīng)歷什么樣的思維活動？透過國外一些教科書中的案例可以發(fā)現(xiàn)，除了估算方法的多樣化思考之外，還有一些可能沒有引起我們重視的問題。由美國皮爾遜教育有限公司出版的一套名為《Scott Foresman—Addison Wesley Math》的數(shù)學教科書，其中五年級有一個“大象吃草”的問題[4]（見圖4）。

圖4 “大象問題”的問題呈現(xiàn)畫面

圖4是教科書對“大象吃草”問題呈現(xiàn)的畫面，其中包含了“主體”（畫面右側）和“輔助”（畫面左側）兩個部分。主體部分自上而下又包括了三個內容，第一是課題名稱和需要思考的問題，課題名稱為“估算乘積（Estimating Products）”，思考的問題是“精確計算還是估算（Exact answer or estimate）？”第二是“大象問題”的敘述：“動物園中一頭成年大象每天需要吃大約87磅草料，飼養(yǎng)員在2月份的28天中飼養(yǎng)了4頭同樣的大象。那么現(xiàn)有的12000磅草料夠不夠？”第三是給出需要計算的算式“87×28×4”，并指明了算式中每一個數(shù)據(jù)在問題敘述中的含義。

輔助部分包括“核心想法（Key idea）”和思考過程需要用到的“術語（Vocabulary）”。核心想法是“估算乘積可以有許多不同的方法”。術語包括“大估（Overestimate）、小估（Underestimate）、湊十（Rounding）、匹配（Compatible Numbers）”，這些術語顯然是對估算方法的提示。緊接著問題呈現(xiàn)畫面之后，就是解決問題過程的畫面（見圖5）。

圖5 “大象問題”解決過程畫面

圖5畫面的輔助部分（圖5左上），首先給出了前面畫面中“精確計算還是估算”這一問題的思考結果：“只要估算，因為只需要知道夠不夠。”在畫面主體部分包括了四項內容。第一是需要思考的問題“估算乘積有哪些方法”；第二是對前面術語中的“大估”和“小估”作出解釋：“把算式中的因數(shù)變大，就是大估；把算式中的因數(shù)變小，就是小估。”第三是給出兩種方法作為樣例（Example），第一種方法是將“87×28×4”中的“87”擴大為100，“28”擴大為30，這樣得到估算結果為“100×30×4=12000”；第二種方法是將“87×28×4”中的“28”縮小為25，并特別注明了估算的“匹配（Compatible）”策略，也就是提示學生25與4的乘積為100，這樣的匹配可以簡化計算。兩種方法樣例之后是問題的結論，即答：“因為飼養(yǎng)員有12000磅草料，所以2月份的草料夠。”“大象問題”的最后一幅畫面是思考討論的問題（見圖6）。

圖6 “大象問題”的思考討論畫面

圖6畫面中的第一個問題是：“前面第二種方法為什么把28變?yōu)?5？”第二個問題是：“哪一種方法是大估？你是怎么知道的？”第三個問題是：“哪一種方法是小估？你是怎么知道的？”

縱觀“大象問題”的教科書畫面可以發(fā)現(xiàn)，針對這一問題的教學過程中，學生至少應當經(jīng)歷如下三個問題的思考：這個問題是否可以估算？有哪些方法可以用于估算？應當大估還是小估？事實上前面教科書中還缺少了一個對“估算結果是否合理”的思考和討論。前面第二種估算方法實際上是將“87×28×4”的結果縮小為“87×25×4=8700”，此時得到大小關系為：

●8700<87×28×4

●8700<12000

從這兩個大小關系并不能得到“87×28×4<12000”的結論，所以應當說前面的第二種方法對這個問題的解決是無效的。如果在最后的思考討論的畫面中增加一個“哪一種方法更加有效”的問題，或許這個問題的教學設計就更加圓滿了。

對比我國估算內容的課程與教學，所缺少的應當是對思考內容的細致設計。這樣的內容主要反映在面對問題時的“能否估算”，解決問題過程中的“怎樣估算”，以及針對估算結果的“是否合理”。因此在設計運用估算解決的問題時應當遵循如下原則，問題情境和問題目標應當有“無需準確”的特征；解決問題的估算方法除了具有多樣化的特點外，還應當體現(xiàn)出相對于準確計算的“追求簡捷”；運用不同方法所得到的不同估算結果的合理性，應當以是否“達成意愿”作為判別依據(jù)。

參考文獻：

[1]郜舒竹. 估算方法知多少[J]. 教學月刊， 2012.（10）.

[2]郜舒竹. 讓計算慢下來[M]. 小學數(shù)學，人民教育出版社， 2012.2.

[3] Robert E. Reys， James F. Rybolt， Barbara J. Bestgen and J. Wendell Wyatt. Processes Used by Good Computational Estimators. Journal for Research in Mathematics Education， Vol. 13， No.3 （May， 1982）， pp. 183 ～201.

[4]引自：Phares O’Daffer，Randall Charles，Thomas Cooney，John Dossey，and Jane Schielack. Mathematics for Elementary School Teachers， Fourth Edition. Addison Wesley. Copyright ? 2008 by Pearson Education， Inc.

（首都師范大學初等教育學院 100048）