計算教學要謹防例題教學“習題化”

編者按：計算教學在小學數學教學中占有重要的地位，同時也是教學的重難點，許多教師已經對此從各個角度進行了探討。本刊特選取一組文章，從計算教學的例題教學作為切入口展開探討，可供大家參考。

新課程改革以來，審視平時的教學研究與課堂改革，無論是教材編排還是教師教學，都更加注重培養學生運用數學規律、數學原理解決實際問題的能力，對學生計算能力的培養與訓練趨于弱化。學生的計算習慣、計算意識、計算興趣以及計算能力等“算術”素養明顯下降，從而導致了學生對數學學科認識的膚淺空泛以及計算教學效率的日益低下。這些問題主要表現為一線教師在計算教學中，只關注算法的傳授與操作，不注重算理的探索與理解，忽視了對算法意義的建構，使學生只知道“算”、不知道“理”，只知道機械模仿、不知道探索發現，繼而導致學生在計算領域的學習始終置身于“計算器”的身份，缺乏對計算算理與計算方法關系的探索。筆者以為，導致這一現象的發生，是一線教師在計算教學時例題教學“習題化”了，強化了對算法的掌握，弱化了對算理的追問，從而使計算教學趨于簡單化與膚淺化，抑制了學生數學思維與計算技能的發展與提升。

一、關注數學操作，感知算理，形成算法

動手實踐是學生學習數學的重要方式之一。教師在引導學生進行數學操作時，不僅要關注學生操作的結果，更要關注學生操作的過程，使學生逐步從無意操作走向有意操作，讓整個動手操作過程充盈數學思考、伴隨數學方法、共生數學有效。

應該說小學一年級學生在剛剛接觸到數的時候，學具小棒的出現使學生由數的認識逐漸走向數的運算，從此學生對數的研究發生了質的轉變。可是，多年來綜觀小學低年級數學老師的教學，只是把小棒當作幫助學生獲得計算結果的“計算器”，并沒有使小棒發揮應有的數學功能。即教師在引導學生用小棒進行操作時，只是利用小棒幫助學生算出結果，并沒有引導學生在用小棒操作時，去探索計算的道理，體會計算的方法。

例如，教學一年級下冊“兩位數加一位數”口算時，為了使學生都能自主算出24+6的得數，一線教師都會想到利用小棒讓學生進行計算操作，學生均能很快得出24+6=30。然后教師引導學生進行交流：你是怎樣算的？課堂上只要學生說出把單根的先加起來、再和整捆的合起來之類的想法，教師就給予充分的肯定。與此同時，教師即認為此例題教學目標已達成，學生學習兩位數加一位數的計算方法也已掌握并理解。因此，從這個操作層面來考量，教師只是把小棒當作幫助學生得出24+6計算結果的工具，把用小棒操作的過程只看成是幫助學生獲得24+6計算結果的過程。這樣的教學仍然停留在只重計算方法而忽略計算算理的層面上，只關注怎么算，而不關注為什么這樣算。從而就使例題教學走上“習題化”的道路。

在聽課過程中，筆者留心觀察部分學生操作時的“言行舉止”。一旦學生按照教師的要求在桌面上把“24”和“6”用小棒擺好后，學生就立即動手數起來。數什么？都是在數桌面上所有單根的根數。從這一動作細節足可以說明：學生已把用小棒操作的過程與24+6這個算式割裂開來，并沒有關注24+6是怎樣算的。因為課堂上很少發現學生是在24根中的4根單根的基礎上或6根單根的基礎上接著數下去，更看不到學生借助小棒和已有口算經驗在計算4根小棒加6根小棒是10根小棒的現象，都是把桌面上所有的單根的小棒一根一根數出“10”來。因此，在要求學生進行操作時，一定要引導學生在操作中感知計算的道理、探索計算的方法，在理解算理的基礎上自然形成算法。可讓學生在動手操作時進行如下思考：

（1）24+6是表示把多少根的小棒和多少根的小棒合起來？在學生回答的基礎上教師相機課件出示：這樣豎起來呈現小棒能夠有效避免學生一根一根數出10根小棒的現象，也為后續的豎式計算的學習打下基礎、建立雛形。（2）從擺出的這個小棒圖，你能看出這個小棒圖里隱藏了哪些數？引導學生發現“2、4、6”這些數，并結合小棒圖讓學生說出每個數的含義。這樣就使學生的操作始終圍繞24+6這道算式來思考。把“數”與“形”緊密結合在一起，讓學生在“數”中擺出“形”，在“形”中抽象出“數”。（3）在學生理解24+6算式中每個數含義的基礎上，即初步感知各個數位上的數所表示不同含義的基礎上追問：你是怎么算的？先算什么？因為學生所擺出的小棒圖中，最直觀顯示出了三個數：2（捆）、4（根）、6（根）。所以在學生回答時，教師相機追問：4能和2相加嗎？6能和2相加嗎？（4）在學生回答的基礎上，教師繼續追問：24+6的得數個位上的數是4嗎？是6嗎？十位上的數是2嗎？如此追問再次激發學生感知得數個位與十位上的數與兩個加數個位與十位上的數之間的聯系。

只有讓學生在操作中經歷了這樣的數學思考，學生才會真正感知兩位數加一位數的計算算理，探索其計算方法，繼而在理解算理的基礎上自然形成算法。這樣的動手操作才是有效的甚至高效的，這樣的計算教學也才能使例題教學發揮示范、引領、啟迪的教學作用，避免走上“習題化”教學之路。

二、關注數學應用，體驗算理，生成算法

數學知識只有和生活應用結合起來，才能體現其應用性，彰顯其價值及意義。而數學規律、法則也只有在生活中應用，才能解釋其數學原理與數學現象。因而計算教學亦應讓學生在具體數學應用中，去體驗算理，促進算法自然建構與生成。因為學生只有在運用已有知識經驗去解決生活問題時，才可能找尋生活原型并建構數學模型，繼而在經歷計算知識自然生成的過程中，逐步體驗、理解計算方法的道理，由此促進學生對算法的建構與掌握。

例如，在教學四年級上冊“混合運算”時，如果脫離具體生活情境，拋開數學應用，教師無法解釋乘加、乘減混合運算的計算順序問題，繼而也無法得到正確的計算結果。如5×3+20或20+5×3，正確的答案是多少？按照先乘后加還是先加后乘的順序進行計算，相對于小學生來說是無法考量的。除非教師在課堂上硬性告訴學生“先乘后加”，如果這樣，學生也只是在教師規定的機械練習下掌握此類混合運算的計算方法，而對如此計算的算理學生卻一概不知，即為什么要先乘后加呢？這樣算的道理是什么呢？因而課堂教學要從學生視角出發，從數學知識的科學性、聯系性和應用性的特點出發設計教學，讓學生學得信服，學得舒心。這就需要一線教師在設計教學時，要讓數學知識回歸生活、回歸應用。在生活中生成知識，在應用中發現規律，在體驗中建構算法。

因為本節課的教學目標要求學生認識混合運算，掌握乘加、乘減的運算順序，并會用遞等式進行計算，因而教師不能簡單地把例題作為一道用綜合算式解答的習題來教學。當例題情境出示后，應讓學生經歷如下學習過程：（1）小軍買了3本筆記本和1個書包，一共用去多少元？你會算嗎？學生根據自己的已有知識經驗很快列出5×3=15（元），15+20=35（元）。（2）你能說說每一步計算的現實含義嗎？教師結合學生的回答，相機將課件分步動態演示。

（3）通過剛才的觀察演示，你想說什么？課堂上學生都能夠說出：3本筆記本的總價錢沒有直接給出，所以要先算出3張5元的總價錢，然后才好直接用15元加一個書包的20元錢。（4）你能用一個算式表示一下這幅圖的含義嗎？學生很快列出5×3+20的綜合算式，繼而教師追問：為了使每一步的計算順序及過程看得更加清楚，你認為這個綜合算式在計算時可以怎樣書寫？通過課件演示，學生感受到這樣的呈現形式不僅可以計算出最后的結果，也能直觀地呈現出每一步的計算過程與運算順序。這樣就使學生直觀體驗了計算算理，遞等式計算的書寫形式在學生頭腦中也建立了模型，突顯了用遞等式計算的必要。計算教學只有引導學生經歷如此的實際應用體驗，混合運算的教學才會實現從算理的意義建構到算法的自然生成，學生也才會體驗到混合運算的算法是基于其算理的基礎上得以自然生長的。

三、關注數學表達，經歷算理，構成算法

由于新教材的編排內容和編排結構作了較大調整，使原有的有關“數量關系”的題型如“文字題”與“應用題”不再獨立編排，而是滲透到各個計算教學板塊中。這樣編排使部分一線教師由于對新教材理解不深，研讀膚淺，導致對于引導學生進行應有數量關系的分析與理解有所弱化甚至缺失，使學生分析數量關系的意識以及用自己的語言表達數量關系的能力逐步喪失，抑制了學生數學表達和數學思維能力的提升。

因此，在平時的教學實踐中，教師要善于抓住例題的特點，引導學生觀察數學信息，并借助例題主題圖情境鼓勵學生用自己的語言表達算式的現實意義和算式本身的“算術”含義，促進學生在表述數量關系的過程中經歷算理，并使已有計算方法得到有效遷移，繼而構成新的算法。

例如，在教學六年級上冊“分數連乘”時，一線教師認為這部分內容對于六年級學生來說并不難，因為學生是在學習分數乘法的基礎上緊接著學習這部分知識的。于是在課堂上出示例題情境后，就機械地套用教材中的方法，直接根據題意讓學生思考：要求三班做了多少朵，要先算什么？學生很快d6f8230646bf18ac6c0c6c097f4c63b5列出算式：135×=120（朵），求出二班做的朵數，繼而用120×=90（朵），求出三班做的朵數。然后要求學生把兩道分步計算合并成一個綜合算式。這樣，分數的連乘教學就已完成。這是明顯地把例題教學當作習題進行解答，是典型的例題教學“習題化”，根本不關注學生的已有經驗和認知特點，不關注例題教學的示范、引領及啟迪功能，只關注怎樣算，而不關注為什么這樣算。把學生當作機械接受數學方法的機器，忽略學生是一個主觀能動有思想、有思維的生命個體。

因此，看似簡單的分數連乘，教師還是有必要引導學生在數學表達中探索算法、經歷算理，引領學生在理解算理的基礎上，不斷遷移數學思想方法，逐步構成算法。可以從以下幾個方面進行探索：（1）求一個數的幾分之幾是多少，你是怎么想的？（2）題中求三班做了多少朵，也就是求什么？課堂上由于有了第一個問題的鋪墊，學生很快就想到：也就是求二班的是多少。教師在肯定學生的回答后故作不滿足，繼續追問：是啊，可是二班做的朵數也不知道，也就是求什么？在教師的不斷追問與鼓勵之下，學生終于用自己的語言表達出：也就是求一班的的是多少。（3）一班的的是多少？你會用一個算式來表示嗎？（4）觀察算式：135××。誰能說一說，這個連乘算式可以直接看成求什么？課堂上學生說出了以下多種“算術”含義：135的的是多少？135的的是多少？ 的135倍的是多少？的135倍的是多少？的的135倍是多少？的的135倍是多少？課堂上學生經歷如此的數學表達，不僅對于分數連乘的現實含義與算術含義得到充分理解，也使學生體會到分數連乘時，相乘因數的分子與分母可以互相約分的道理。只有這樣，在數學表達中引導學生抽象連乘的計算算理，學生才會遷移計算中的已有方法，使分數連乘的計算方法得以逐步構成并為學生掌握。

四、關注數學嘗試，探索算理，達成算法

在整個小學階段，有些數學知識、數學現象抑或數學規律、數學原理等，是不可能或不可以都能夠在小學生面前得到論證或證明的。于是一線教師在課堂上就直接采取告知的方式，讓學生直面方法，并通過機械重復的訓練，使學生牢牢地掌握方法，并認為教學目標已高效達成。但筆者以為，即便在小學教材中有很多數學知識不能引導學生直接通過想象、推理等方法證明得到，也不能強行灌輸給學生，應引導學生經歷探索、發現、感悟的過程，讓學生從特殊中探尋普遍，從個性中尋找共性，繼而發現數學現象中所隱藏的數學本質規律，以便使學生體驗到雖然不能享受經過數學證明所帶來的快樂與成功，卻仍可以經歷數學觀察、數學嘗試和數學感悟所帶來的“心悅誠服”。

例如，在教學六年級上冊“分數除法”時，一線教師一般在課堂上總是“走過場”式地引導學生畫圖分一分，讓學生從圖中直接得出結果，然后就出示諸如m÷=m×（ ） 的模式，讓學生進行觀察填空，繼而就迫不及待地帶領學生進行小結并得出分數除法的計算法則。殊不知，教師還是走上了例題教學“習題化”的道路。這樣的教學，雖然學生都能通過相應的練習很快掌握分數除法的計算方法，可是學生可能會一輩子都不知道或不理解為什么除以一個數等于乘它的倒數。筆者也曾經調查過一線教師，問他們為什么除以一個數等于乘它的倒數，居然沒有一個教師能說出一個所以然來，并且還得出一個統一的理由：反正就是這樣算的，一代代的教師就是這么教過來的。這足以說明教師自身都只重視算法，而不關注算法形成過程中如此計算的道理，即算理。

誠然，關于分數除法的計算方法確實不能運用學生的已有知識經驗通過數學證明讓學生徹悟，但可以讓學生通過各自不同方法的猜測、觀察、推理等數學嘗試，讓學生體驗到“除以一個數等于乘它的倒數”這一數學道理。學生只有經歷自己的嘗試、同伴的啟迪、教師的點撥，才會在一次次嘗試感觸中逐步感受到分數除法的計算算理，繼而才會在心靈深處堅信“除以一個數等于乘它的倒數”這一數學方法。

筆者在教學時，讓學生經歷了如下幾個環節的嘗試探索：（1）請你選擇其中一道題用自己的已有知識經驗去想辦法得出它的結果。①÷2，÷3，÷4；②4÷ ，4÷ ，4÷ ；③4÷ ，4÷，4÷。（2）把你得出的結果與小組內其他成員進行交流，并比較各自的不同方法。（3）通過你們的嘗試探索，分數除法可以怎樣直接計算？

集體交流時，學生對于①類題，主要有兩種不同的思路：一種是通過畫圖平均分來表示（÷3畫圖的學生較少）。學生根據畫圖所得到的結果去猜測，發現用×、×、×正好和他們畫圖所得到的結果吻合。另一種是根據除法的含義來說明：除以2、除以3、除以4表示平均分成2份、3份、4份，其中的一份是多少，繼而得出這一組題也就表示求的、、分別是多少。這樣學生就很容易發現÷2=×，÷3=×，÷4=×。

對于②類題，大部分學生都通過畫圖得出，這樣很容易得出1里面有2個，1里面有3個，1里面有4個。這樣學生就可以推理得出4里面有4×2個、4×3個、4×4個，繼而發現4÷ =4×2，4÷ =4×3，4÷ =4×4。

學生對于③類題普遍感到有困難，只有較少數學生通過畫圖得出結果，但是交流時正因為有了較少數優等生的啟迪，使全體學生都明白了“4”不能直接通過畫圖平均分找到里面有幾個、、。必須先把“4”平均分成12份、20份、28份。此時教師點撥：你是怎么發現要把“4”平均分成12份、20份、28份的呢？學生很快就發現只要用4乘它們的分母3、5、7就行了。然后引導學生思考：平均分成12份、20份、28份后可以怎樣想？學生此時終于發現只要想12份、20份、28份里面分別有多少個“2”，繼而就可得到4×3÷2、4×5÷2、4×7÷2的計算方法，最終可以發現4÷ =4×、4÷ =4×、4÷ =4×。

學生經歷了這一番觀察、討論、比較等嘗試探索后，終于信服并堅信“除以一個數等于乘它的倒數”的計算道理。課堂上學生情不自禁地高聲歡呼并一致達成：除以一個數就可以直接乘這個數的倒數。因此，只有讓學生經歷了分數除法計算算理的探索過程，他們對分數除法的計算方法才會切身體驗、自然達成。

綜上所述，計算教學既要重視算法的建構，更要關注學生對算理的理解。這就需要教師在設計計算教學時，一定要謹防例題教學“習題化”，這樣學生才能經歷計算算理的演繹過程，對算法才能記憶深刻、理解深入。

（江蘇省揚州市江都區仙女鎮中心小學 225200）