借力“動態(tài)分析法”,巧解題

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609) 童永奇

借力“動態(tài)分析法”,巧解題

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609) 童永奇

所謂“動態(tài)分析法”就是指將靜態(tài)的問題放置到一系列的運(yùn)動變換過程中去加以思考分析.這樣處理具體問題,有利于從運(yùn)動變換的角度對問題進(jìn)行探究.值得一提的是,我們要注意具體地“動”的方式,通過在“動”中去關(guān)注、運(yùn)用題設(shè)條件,從而可幫助我們迅速分析、解決問題.靈活運(yùn)用這種將靜態(tài)問題動態(tài)化的分析思想,往往可以得到簡潔、新穎別致的解法.現(xiàn)歸類舉例加以剖析.

類型一、給定集合運(yùn)算結(jié)果,探求參數(shù)的取值范圍

例1 已知集合A={x|0＜x＜4},B={x|x＜-1或x＞2},C={x|m-1≤x≤m+3}.

(1)若A∩C=?,求實數(shù)m的取值范圍;

(2)若B∪C=R,求實數(shù)m的取值范圍;

(3)若(A∩B)?C,求實數(shù)m的取值范圍.

解析(1)在數(shù)軸上先表示集合A,再讓集合C表示的范圍在數(shù)軸上由左向右運(yùn)動變化,結(jié)合圖1、圖2分析即知,由A∩C=?得m+3≤0或m-1≥4?m≤-3或m≥5.故所求實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤-3或m≥5}.

圖1

圖2

(2)在數(shù)軸上先表示集合B,再讓集合C表示的范圍在數(shù)軸上由左向右運(yùn)動變化,結(jié)合圖3分析即知,由B∪C=R得故所求實數(shù)m的取值范圍{m|-1＜m＜0}.

圖3

(3)借助數(shù)軸求得A∩B={x|2＜x＜4}.在數(shù)軸上先表示集合A∩B,再讓集合C表示的范圍在數(shù)軸上由左向右運(yùn)動變化,結(jié)合圖4分析即知,由(A∩B)?C得故所求實數(shù)m的取值范圍是{m|1≤m≤3}.

圖4

評注對于“由給定的集合之間的運(yùn)算結(jié)果,求參數(shù)的取值范圍”這類問題,一般情況下應(yīng)以數(shù)軸為載體,采取“動靜結(jié)合”的方法,有利于迅速理清含參集合與確定集合之間的位置關(guān)系,進(jìn)而建立不等關(guān)系加以求解.此外,還要注意結(jié)合題意,準(zhǔn)確分析不等關(guān)系中的“等號”能否真正取到;否則,極易出錯.

類型二、給定含參二次函數(shù)的單調(diào)性,探求參數(shù)的取值范圍

例2已知二次函數(shù)y=kx2-4x+8在區(qū)間[-3,2]上是單調(diào)遞減的,求實數(shù)k的取值范圍.

解析注意到含參二次函數(shù)圖像的對稱軸具體位置不確定,且圖像的開口方向也不確定,從而討論如下.

當(dāng)k＞0時,二次函數(shù)圖像開口向上,讓對稱軸由左向右運(yùn)動變化,并結(jié)合函數(shù)在區(qū)間[-3,2]上的圖像,易知應(yīng)使又k＞0,解得0＜k≤1;

當(dāng)k＜0時,二次函數(shù)圖像開口向下,讓對稱軸由左向右運(yùn)動變化,并結(jié)合函數(shù)在區(qū)間[-3,2]上的圖像,易知應(yīng)使又k＜0,解得

評注(1)本題具有一定的綜合性,首先要按二次項系數(shù)與零的關(guān)系分類討論;然后在每一種情況下,才能靈活運(yùn)用“動態(tài)分析法”加以討論分析.注意：變化的對稱軸與給定的區(qū)間共有三種位置關(guān)系：對稱軸在區(qū)間的左邊;對稱軸在區(qū)間上;對稱軸在區(qū)間的右邊.

(2)類似分析,可得如下常用結(jié)論：

說明：其中左區(qū)間指(-∞,m)或(-∞,m];右區(qū)間指(m,+∞)或[m,+∞).

類型三、給定含參二次方程的“解”的情形,探求參數(shù)的取值范圍

例3 (1)若方程x2-x-a=0在[-1,1]上有實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是___;

(2)若方程x2-x-a=0的兩個不同實數(shù)解都在[-1,1]上,則實數(shù)a的取值范圍是___.

圖5

解析由方程x2-xa=0,得x2-x=a.在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別做出函數(shù)y=x2-x(-1≤x≤1)與函數(shù)y=a的圖像,如圖5所示.

(1)依題設(shè),應(yīng)使直線y=a與曲線y=x2-x(-1≤x≤1)有公共點(diǎn).現(xiàn)讓動直線y=a上下平移分析,即知所求實數(shù)a的取值范圍是

(2)依題設(shè),應(yīng)使直線y=a與曲線y=x2-x(-1≤x≤1)有兩個不同的公共點(diǎn).現(xiàn)讓動直線y=a上下平移分析,即知所求實數(shù)a的取值范圍是

評注(1)若關(guān)于x的方程a=f(x)有實數(shù)解,則參數(shù)a的取值范圍就是函數(shù)f(x)的值域;(2)若關(guān)于x的方程a=f(x)在某區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解,則應(yīng)使直線y=a與曲線y=f(x)有兩個不同的公共點(diǎn),進(jìn)而讓動直線y=a上下平移分析即得參數(shù)的取值范圍.

類型四、探求含參二次函數(shù)在“定區(qū)間”上的最值

例4 已知二次函數(shù)f(x)=-x2+2(a+1)x+a2+4,試求f(x)在[0,2]上的最大值h(a)的解析式.

評注本題求最大值時,是按對稱軸與給定區(qū)間左、右端點(diǎn)的位置分類討論的.請想一想：如果是求最小值,那么應(yīng)如何討論?(提示：按對稱軸與給定區(qū)間的中點(diǎn)位置分類討論,可得f(x)在[0,2]上的最小值

類型五、探求給定二次函數(shù)在“變區(qū)間”上的最值

例5 已知二次函數(shù)f(x)=x2+2x+3,試求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最小值g(t)的解析式.

評注本題求最小值時,是按變區(qū)間左、右端點(diǎn)與給定對稱軸的位置分類討論的.請想一想：如果是求最大值,那么應(yīng)如何討論?

提示：按變區(qū)間的中點(diǎn)位置與給定對稱軸的位置分類討論,可得f(x)在[t,t+1]上的最大值

總之,通過上述幾例的解析可知：若將靜態(tài)問題看作是某一系列運(yùn)動變換過程中某一瞬間的相對狀態(tài),則往往有利于從整體上把握問題,認(rèn)清實質(zhì),同時也為我們分析、研究問題開辟了一個嶄新的思維角度—靜態(tài)問題“動態(tài)分析”!