貝葉斯信度理論下VaR計(jì)算的新方法

摘要：傳統(tǒng)的VaR方法通過方差—協(xié)方差法或者歷史數(shù)據(jù)法進(jìn)行測算，但是這兩種方法都有顯著的缺點(diǎn)。文章通過貝葉斯信度理論（Bayes Credibility Theorem）針對傳統(tǒng)VaR方法的一些缺點(diǎn)，建立新的模型。

關(guān)鍵詞：貝葉斯信度理論；VaR方法；normal/normalmodel；連續(xù)復(fù)利

一、VaR模型及其兩種計(jì)算方法

風(fēng)險(xiǎn)價值VaR作為一個概念，最先起源于20世紀(jì)80年代末交易商對金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)測量的需要，作為一種市場風(fēng)險(xiǎn)測定和管理的新工具，則是由J.P.Morgan最先提出的。VaR是一種應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)技術(shù)來測定金融風(fēng)險(xiǎn)的方法，是通過密度函數(shù)或累積函數(shù)來表示風(fēng)險(xiǎn)的。在金融風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)中，借助于投資組合市場價值變化概率分布的密度函數(shù)或累積函數(shù)來表示投資的風(fēng)險(xiǎn)屬性，將各種市場因素所引起的風(fēng)險(xiǎn)整合為一個一維的度量值——最大潛在損失值，就形成了金融市場風(fēng)險(xiǎn)度量的VaR方法。VaR的對象是某一金融資產(chǎn)或證券組合，它們可以包括股票、債券及其他的各種金融衍生工具。嚴(yán)格的說，VaR描述了在一定的目標(biāo)期間內(nèi)收益和損失的預(yù)期分布的分位數(shù)。

例如，持有期為1天，置信區(qū)間為90%的某一證券組合的VaR是1萬元，根據(jù)VaR的定義，其含義是，我們有90%的把握，該證券組合在未來的24小時內(nèi)組合價值的最大損失不會超過1萬元。

在傳統(tǒng)的精算中，貝葉斯理論是用于測算保費(fèi)的一種方法。他采用歷史數(shù)據(jù)和模擬參數(shù)共同估計(jì)未來保費(fèi)。一般來說，保險(xiǎn)費(fèi)的精算采用Poisson/gamma模型，或者采用Buhrmann模型，不會采用normal/normal模型。因?yàn)閚ormal/normal會使得保費(fèi)出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況，與實(shí)際情況大相徑庭。但是在其他的一些領(lǐng)域中，normal/normal假設(shè)卻是十分有效且有科學(xué)依據(jù)的假設(shè)。

將這種方法應(yīng)用于保險(xiǎn)公司或其他金融機(jī)構(gòu)的資產(chǎn)管理筆者認(rèn)為將十分合適，因?yàn)榻鹑跈C(jī)構(gòu)管理資產(chǎn)的收益率可以用連續(xù)復(fù)利來完全表示，恰好與這里貝葉斯信度理論的normal/normal模型相吻合。

我認(rèn)為的貝葉斯的信度理論能夠很好運(yùn)用于資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)中的市場風(fēng)險(xiǎn)管理中去。中國正面臨金融開放加速和市場爆炸性發(fā)展的階段，這個情況不符合歷史模擬法的前提條件，但是即便如此，也要充分利用已有的數(shù)據(jù)，才能糾正有誤差的參數(shù)。另外蒙特卡洛模擬法對人員素質(zhì)的要求太高，同時開發(fā)成本也較高，因此使用方差—協(xié)方差法成為目前計(jì)量VaR的主流方法。下面筆者簡單介紹一下方差—協(xié)方差法和歷史模擬法。

首先，方差-協(xié)方差法。方差-協(xié)方差法是VaR計(jì)算中最為常用的方法。它假定風(fēng)險(xiǎn)因子收益的變化服從特定的分布（通常是正態(tài)分布），然后通過歷史數(shù)據(jù)分析和估計(jì)該風(fēng)險(xiǎn)因子收益分布的參數(shù)值，如方差、相關(guān)系數(shù)等，從而根據(jù)得出整個投資組合的VaR值。

其次，歷史模擬法。歷史模擬法假定回報(bào)分布為獨(dú)立同分布，市場因子的未來波動與歷史波動完全一樣。其核心在于根據(jù)市場因子的歷史樣本變化模擬證券組合的未來損益分布，利用分位數(shù)給出一定置信水平下的VaR估計(jì)。具體來講，它是根據(jù)每種資產(chǎn)的歷史損益數(shù)據(jù)計(jì)算當(dāng)前組合的“歷史”損益數(shù)據(jù)，將這種數(shù)據(jù)從小到大排列，按照置信度c的水平找到相應(yīng)的分位點(diǎn)，從而計(jì)算出VaR值。

方差-協(xié)方差法有一個重要的假設(shè)——正態(tài)分布假設(shè)。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來講，正態(tài)假設(shè)是建立在中心極限定理這個基礎(chǔ)上的。中心極限定理的原理是：一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個因素所產(chǎn)生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。但是很顯然，這個條件在現(xiàn)實(shí)中較難達(dá)到，特別是在行政干預(yù)較多的中國市場上。因?yàn)椋恼{(diào)控產(chǎn)生的影響并不能看作“微小”。這也解釋了實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)：中國市場收益率的厚尾現(xiàn)象比較嚴(yán)重，用正態(tài)分布的假設(shè)可能還不能完全解決問題。由于收益率要使用有厚尾分布，所以需要估計(jì)的參數(shù)較為復(fù)雜，可信度較低。

歷史模擬法直觀有效，利用現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)來確定概率分布，從而省去了很多假設(shè)。比如，方差—協(xié)方差法一般采用正態(tài)或厚尾分布假設(shè)。歷史模擬法除了以上這些優(yōu)勢，它也避免了模型參數(shù)錯誤導(dǎo)致預(yù)計(jì)概率分布錯誤的可能性。但這種方法沒有考慮到未來的不斷變化，有其局限性。

總的來說，方差—協(xié)方差法中的參數(shù)難以確定，歷史數(shù)據(jù)法難以把對未來的經(jīng)濟(jì)形勢的估計(jì)在VaR中體現(xiàn)出來。針對方差—協(xié)方差法和歷史模擬法的劣勢，本文采用貝葉斯的信度理論來重新建立模型。

二、貝葉斯信度理論方法

本文采用的方法是：假設(shè)interestforce（連續(xù)復(fù)利也就是收益率）為隨機(jī)變量x，x服從（θ，σ21）的分布，其中θ為一隨機(jī)變量，σ21表示由的樣本方差估計(jì)的方差。xi是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量x的觀測值，觀測值數(shù)量為n。

θ：N（μ，σ22），其中μ表示期望值σ22表示方差，σ22通過類似方差協(xié)方差法得到：σ22=yiyjρi，jσiσj，

σiσj表示風(fēng)險(xiǎn)因子i和j的標(biāo)準(zhǔn)差，ρi，j表示風(fēng)險(xiǎn)因子i和j的相關(guān)系數(shù)，ρi，j表示整個投資組合對風(fēng)險(xiǎn)因子i變化的敏感度，有時被稱為Delta。

這里采用連續(xù)復(fù)利為隨機(jī)變量，而不用一般的單利計(jì)算，是因?yàn)楣P者認(rèn)為連續(xù)復(fù)利更具有正態(tài)分布的特征：多種因素影響隨機(jī)變量，而且每種影響的效果較小。并且利用連續(xù)復(fù)利更容易累加計(jì)算，不需要用到差分和微分。

這種方法的思路是：在θ給定時，假設(shè)連續(xù)復(fù)利x服從正態(tài)分布，正態(tài)分布的方差是從歷史數(shù)據(jù)中獲得的。X的期望θ則是一個隨機(jī)變量，也服從正態(tài)分布，這個正態(tài)分布的兩個參數(shù)是采用類似方差—協(xié)方差法的方法得到的。

這樣，本文提出的這種方法就克服了歷史數(shù)據(jù)法不能通過參數(shù)來對未來進(jìn)行估計(jì)的缺點(diǎn)，也克服了方差—協(xié)方差法參數(shù)不準(zhǔn)的特點(diǎn)。又因?yàn)檫@里x的實(shí)際分布不是的正態(tài)分布，將會增大VaR值，克服了歷史數(shù)據(jù)法VaR值偏小的缺點(diǎn)，使之能夠運(yùn)用于較為波動的市場行情。

方法的具體使用：

注：這里的exp指的是exponential（指數(shù)函數(shù)在英國精算體系中的表示方法）

首先表示出的先驗(yàn)分布：

f（θ）（Prior）∝exp-舍去exp中常數(shù)項(xiàng)后有

f（θ）（Prior）∝exp-+

然后表示出θ在觀測值下的極大似然函數(shù)：

∏f（xi）（Likelihood）∝exp-

舍去exp中的常數(shù)項(xiàng)后有

∏f（xi）（Likelihood）∝exp-+θ

將prior（先驗(yàn)分布）與likelihood（似然估計(jì)）相乘后得到后驗(yàn)分布的正相關(guān)量，也就是θ在已知觀測值x1x2……xi（用x表示）情況下的密度函數(shù)（時間間隔為Δt）：

f（θ|x）（Posterior）∝exp

-++θ+

可以發(fā)現(xiàn)這是一個正態(tài)分布，其中只有θ是隨機(jī)變量，這樣得到：

θ|x：N，

那么得到

μx==+-aX+（1-a）μ

σ2x=

注：μx=E（θ|x）σ2x=var（θ|x）

在給定θ的情況下，我認(rèn)為未來一段時間內(nèi)xi+1，xi+2…xi+m的服從獨(dú)立同分布的特征（時間間隔為Δt，mΔt=1），根據(jù)連續(xù)復(fù)利積累值的特征，我們現(xiàn)在要討論的是xp=（xi+1，xi+2…xi+m）Δt的分布情況。

有：（xi+1，xi+2…xi+m）：（mθ，mσ21）

可得：（xi+1，xi+2…xi+m）Δt：N（mΔtθ，mΔt2σ21）

即：xp：N（mΔtθ，mΔt2σ21）

利用卷積和條件概率的思想，有：

p（x）=f（θ）Fdθ=α…………？茌

其中，θ是積分變量，f（θ）是θ分布的密度函數(shù)，α是置信度。F（Z）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率累積函數(shù)F（Z）=？覬（X≤x）。是正態(tài)分布中的分位數(shù)

通過這個等式可以求出分位數(shù)，在α置信度下x出現(xiàn)損失的區(qū)間為（xp，μX）

其中，μX表示E（x|x）根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的公式有E（（x|x））=E[E（x|θ）|X]

由于x在給定θ的時候是正態(tài)分布，則有E（x|x）=E[E（x|θ）|X]=E[θ|X]

E[θ|X]在前面已經(jīng)算出，即為μ。

所以單位資產(chǎn)單位時間內(nèi)期望與在α置信度下可能值相差（事實(shí)上，單位時間內(nèi)資產(chǎn)的分布在給定參數(shù)的情況下為對數(shù)正態(tài)分布）：exp-exp（xp）

根據(jù)前面的假設(shè)x表示的是interestforce（連續(xù)復(fù)利），那么在置信區(qū)間里單位資產(chǎn)單位時間內(nèi)可能出現(xiàn)的損失為VaR=exp-exp（xp）

這種方法既吸收了歷史模擬法的充分利用數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)，也解決了歷史模擬法不能有效運(yùn)用參數(shù)來估計(jì)未來的缺點(diǎn)。另外，我提出的這種方法延續(xù)了方差—協(xié)方差法采用多種風(fēng)險(xiǎn)因子來估計(jì)隨機(jī)變量θ方差的特點(diǎn)。

采用這種貝葉斯信度理論的估計(jì)方法有一個缺點(diǎn)，那就是？茌式需要計(jì)算機(jī)采用數(shù)值解法才能解決。因?yàn)槠渲械膄（θ）表示正態(tài)分布的密度函數(shù)，而F表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率累積概率函數(shù)，這個函數(shù)是不能用基本運(yùn)算公式表示的。但是這種方法與蒙特卡洛模擬法相比，已經(jīng)簡便了許多。

本方法除了可以應(yīng)用于指數(shù)連接債券等非固定收益的穩(wěn)定金融產(chǎn)品VaR測算之外，還可以運(yùn)用于股票等波動性較大的金融資產(chǎn)的VaR測定。但是由于這里采用的是連續(xù)復(fù)利服從正態(tài)分布的假設(shè)，如果波動較為頻繁，那么連續(xù)復(fù)利的時間段有可能難以確定，樣本觀測值的確定需要用一些特殊的手段。

筆者將在以后的學(xué)習(xí)研究中，利用數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行實(shí)證研究。

三、結(jié)論

綜合全文，normal/normalmodel在精算中一直不被重視，因?yàn)槠洮F(xiàn)實(shí)意義有限，有可能出現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)情況不符的負(fù)保費(fèi)的情形。另外，貝葉斯模型一般用于保費(fèi)期望的計(jì)算，本文著重討論了貝葉斯模型概率分位數(shù)的應(yīng)用，并將此與VaR值相聯(lián)系。我將這種思想融入投資中去，建立新的有充分科學(xué)依據(jù)的理論模型。此模型可以綜合歷史數(shù)據(jù)法和方差—協(xié)方差法的優(yōu)點(diǎn)，建立關(guān)于連續(xù)復(fù)利（interestforce）的分布函數(shù)，求得更為準(zhǔn)確的VaR值。

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（作者單位：中國建設(shè)銀行總行國際業(yè)務(wù)部）