數形結合的利器：GeoGebra

當老師們在進行線性規劃、函數擬合和概率統計等知識教學的時候，往往繪制圖形的環節就占了課堂的很多時間，這使得課堂的教學容量小、效率低。這時老師們最想要的就是有一個能既快又好的作圖工具來打造高效課堂。大家可能會想到幾何畫板，幾何畫板側重于歐氏幾何的作圖，在代數方面相對較弱，用來處理代數與幾何相結合的問題不是它的長處，而且它不能很好地揭示數與形之間的內在聯系。此時如果使用GeoGebra軟件，則會輕松地解決這個問題。相對幾何畫板而言，在大陸，GeoGebra使用者比較少，而在港臺地區則較為普及。下文將會對它做出簡略的介紹，希望老師們也能喜歡上它。

● GeoGebra的主要功能及特點

GeoGebra是一套結合幾何、代數、數據表、圖形、統計和計算的動態數學軟件，同時具有處理代數與幾何的功能。一方面它是一個動態的幾何軟件，可以繪制并修改點、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線及函數；另一方面它也有處理代數的能力，可以實現對函數作微分與積分、求方程的解和數據統計等功能。它能做到圖形與代數方程的同步變化，實現了真正的動態演示。

安裝并打開軟件（官方下載地址：http：//www.geogebra.org），最新版本是GeoGebra5.0，相比4.0版而言它增加了3D作圖工作區，但它的三維效果比起Cabri 3D來還是有差距的，因此不提倡用它和幾何畫板制作三維課件。軟件內設包括簡體中文在內的50多個國家的語言，選擇簡體中文語言，圖1所示為軟件界面。

其界面包括菜單欄、工具欄、代數區、主繪圖區、工作表和輸入框。基本的操作方法與幾何畫板等軟件相似，本文不多闡述。這里只說說它特有的一些操作技巧，方便大家能快速入門。

（1）代數區和主繪圖區是同步變化的，如果要改變圖形的顏色等相關屬性，若主繪圖區的圖形太多不好選取時，可以在代數區里選中相關對象進行設置。

（2）當選中工具欄中的工具后，在工具欄的最右邊會顯示相關物體工具的名稱，單擊名稱會彈出一個所選中的工具的使用說明對話框。

（3）在輸入框的最右邊位置有一個按鈕，點擊按鈕會出現一個指令說明區，如圖2所示，里面有分類好的所有的輸入指令說明，選中其中一個指令時，會出現輸入格式說明，十分方便。雙擊指令或單擊“粘貼”按鈕，指令會自動粘貼到輸入框中，再次單擊按鈕會隱藏指令說明區。

（4）打開一個做好了的GeoGebra課件，執行“查看/作圖過程”命令（或“作圖過程導航條”命令），會顯示整個課件的制作過程。

GeoGebra還可以導出生成動態網頁，成為網頁形式課件，這也順應了網絡時代的教學要求，注意瀏覽器需要安裝Java環境才能運行。

● GeoGebra在教學中的簡單應用

GeoGebra在函數曲線、概率統計、動態演示等方面有著廣泛的應用。使用得當的話，不僅可以減少教師展示教學內容的負擔、提高展示內容的精確度，使數學課堂教學收到事半功倍的效果，還可以提高學生的學習興趣，增強他們解決問題的動手能力，促進其抽象思維能力的發展。下文將通過幾個有代表性的例子說明它在教學中的簡單應用。

1.GeoGebra在線性規劃教學中的應用

利用GeoGebra可以快速繪制出方程、不等式及函數的圖形。對于線性規劃的不等式方程來說，它沒有快速畫圖方法，只能一個一個地去畫，先畫可行域，然后畫直線并平移，最后在可行域內取最大最小值，沒有捷徑。這樣一來老師們會覺得處理起來很麻煩，單單畫圖就會花掉10多分鐘，因此一節課講不了幾道例題，此時利用GeoGebra進行教學的話，效率會提高很多。

案例1：某工廠生產甲產品和乙產品。已知生產甲種產品1噸需耗A種礦石10噸，B種礦石5噸，煤4噸；生產乙種產品1噸需耗A種礦石4噸，B種礦石4噸，煤9噸。每1噸甲種產品的利潤是600元，每1噸乙種產品的利潤是1000元。工廠在生產這兩種產品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300噸，B種礦石不超過200噸，煤不超過360噸。甲、乙兩種產品應各生產多少噸（精確到0.1噸），能使利潤總額達到最大值？

這是人教版高中數學教材上的一道例題。首先，在輸入框中輸入直線方程，如“5x+2y=150”，按“回車”鍵后，在代數區內會自動出現直線方程“a： 5x+2y=150”，同時在主繪圖區內自動畫出直線。按同樣的方法再繪制出另外兩條直線。其次，求出直線的交點，在輸入框中輸入求交點的指令“Intersect[a， b]”，按“回車”鍵后，會得到直線a和b的交點A，同理可以繪制出其他的交點。最后，繪制出目標函數直線“L：3x+5y=0”，此時可以移動觀察目標函數直線，找到最優解。整個過程一兩分鐘就可以完成了，圖3為其線性規劃應用。

2.GeoGebra在函數擬合教學中的應用

如何有效地擬合指數、對數等函數，這對很多人來說是個難題，大多數人會想到用Matlab軟件，但Matlab軟件太過專業和復雜，讓老師們望而生畏。有了GeoGebra后這一切變簡單了，它提供了如指數、對數和n次多項式等基本的曲線擬合函數命令，可以直接得出函數的解析式。

案例2：某地區不同身高（單位：cm）的未成年男性的體重（單位：kg）平均值如下表：

根據上表提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區未成年男性體重y與身高x函數關系？

這也是課本上的一道例題。首先，把實驗數據輸入工作表中，這里分身高（x）和體重（y）兩列。其次，全選兩列數據，單擊鼠標右鍵，在彈出的對話框中選擇“新增/點集”命令，此時，在代數區內會出現一系列的點坐標和點的列表list1。最后，在輸入框里輸入擬合函數，可以是指數函數“FitExp[list1]”或二次函數命令“FitPoly[list1，2]”等，輸完回車后主繪圖區內會自動繪制出函數圖像。教師可以讓學生嘗試各種曲線進行擬合，從而得出最佳曲線（如下頁圖4）。

3.GeoGebra在概率統計教學中的應用

相比幾何畫板，GeoGebra還有一個優勢就是概率統計功能。我們在概率統計教學中會讓學生做一些如拋硬幣和擲骰子的實驗，這可以幫助學生更好地理解定義。但拋硬幣要拋很多次才能使實驗結果接近理論值，而在課堂上是沒有足夠的時間做這樣大量重復的實驗的，只能讓學生課后抽時間完成。此時如果使用GeoGebra進行模擬實驗，充分利用它的圖形、統計功能，就可以很好地解決這個問題。

案例3：擲骰子的實驗，通過這個實驗研究隨機事件A“擲一枚均勻的骰子，3朝上”發生的頻率。實驗分四步。

（1）將全班分組，每兩人分成一小組做擲骰子實驗，分別擲骰子20次，一個學生擲骰子另一個學生記下3朝上的頻數和頻率，并請每個小組將實驗結果匯總到組長那里。

（2）分析結果：每個小組做實驗20次，3朝上的頻率相同嗎？為什么實驗次數相同然而3朝上的頻率不相同？這反映了頻率的什么特性呢？引導學生了解頻率的偶然性。

（3）觀察數據猜想：大量重復實驗中隨機事件A的頻率會有什么變化趨勢？

（4）利用GeoGebra進行n次擲骰子實驗，當次數越大時，發現3朝上的頻率和其他數朝上的頻率是相等的，從而驗證猜想。圖5是進行50次和400次實驗的結果，從圖形中很直觀地比較得出實驗次數越多頻數越接近的結論。

在這個實驗中，教師通過GeoGebra動態演示實驗過程，實現了數據和圖形同步變化，而且可以讓學生觀察到每一次實驗的結果。這是常規教學和其他教學軟件無法做到的。

以上案例只是GeoGebra軟件在教學中的簡單應用，充分體現了它在數形結合方面的強大功能，限于篇幅，這里不再舉例，更多的要靠大家去學習和探索。總而言之，GeoGebra與幾何畫板和Cabri 3D相比，有自己的優勢和不足，因此，在教學過程中學會根據教學內容合理地選擇課件制作工具才是最實用和有效的。