關注數學聯系 提升教學品質

王鐵成　杜先富

摘要：數學充滿聯系，發現聯系建立聯系，是數學活動的重要目的.本文從三個方面探討“三角函數”與其他數學主題的關聯，重點討論與“銳角三角函數”、“直線和圓”、“函數單調性”的聯系.具體而言，第一，要突出與初中“銳角三角函數”的銜接；第二，要強化與直線和圓的關聯；第三，要實現與函數性質以及指數對數函數的對接.無論是從“怎樣學數學”的角度，還是提升教學品質的角度，關注數學聯系，尋求數學聯系，都應該成為教學目標之一，或者說數學教師的任務之一.

關鍵詞：學習目標；數學聯系

作為教師，在教材中讀出聯系，是不成問題的.問題是，怎樣在課堂中 在教學中幫助學生關注數學內外的聯系，甚至“發現”數學聯系，把“隱性的數學聯系”“顯現”出來，從而保證上述目標的達成？下面就“三角函數”與其他各個主題的聯系，談一些思考.

一、作為理論化的三角函數，要突出與初中“銳角三角函數”的銜接

從認知心理角度講，學生初中學習的銳角三角函數，是高中學習任意角三角函數的基礎.作為理論化的任意角的三角函數，要突出與初中“銳角三角函數”的銜接.

圖1例1以銳角三角函數為基礎的“和角公式”和“半角公式”

解：（1）如圖1，在△ABC中，設∠ABC=α（α為鈍角），

AB=BC，E為AC的中點，AD⊥CD于D，

則∠ABE=α12，∠ABD=180°-α，不妨設AB=1，

在Rt△ABD中，AD=-cosα，AD=sinα，

所以CD=1-cosα，AC=AD2+CD2=2-2cosα，

AE=2-2cosα12，所以sinα12=2-2cosα12，cosα12=2+2cosα12.

圖2（2）設∠BAC=α，∠ABC=β（α+β<90°），過C作CD⊥AB于D，過B作BE⊥AC ，交AC的延長線于E，如圖2.

不妨設AC=1，在Rt△ACD中，AD=cosα，CD=sinα.

在Rt△CDB中，BD=CD·cosβ1sinβ=sinαcosβ1sinβ，

BC=CD1sinβ=sinα1sinβ.在Rt△BCE中，∠BCE=α+β，BE=BCsin∠BCE=sinα1sinβsin（α+β）.

在Rt△BAE中，AB=cosα+sinαcosβ1sinβ，BE=cosαsinβ+sinαcosβ1sinβsinα，

所以sinα1sinβ·sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ1sinβ·sinα.

即sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

二、三角函數就是圓函數，要強化三角函數與必修2之間的關聯

我們知道任意角α的正弦和余弦就是角α的終邊與單位圓交點的縱坐標和橫坐標，這一規定是整個三角函數體系化的基石.三角函數天然就與圓緊密相連，比如，單位圓的方程是x2+y2=1，所以sin2α+cos2α=1.三角函數的教學應該提示、揭示這種關系，強化相互關聯，一方面掌握正、余弦概念的程序操作，另一方面鞏固必修2的相關知識.試舉兩例.

圖3例2如圖3，A、B是單位圓O上的點，且B在第二象限，C是圓與x軸正半軸的交點，A點的坐標是 （315，415），△AOB為正三角形.（1）求sin∠COA；（2）求cos∠COB.

分析：設B的坐標為（x，y）（x<0，y>0），由已知有

x2+y2=1

（x-315）2+（y-415）2=1 ，解得x=3-43110，

所以cos∠COB=3-43110.

例3已知圓 和圓外一點 ，過 作圓的兩條切線，設兩切線夾角為 ，求 和 的值.析：設切線方程為 ，由已知有 ，解得 或 ，依題意 ，所以 三、作為一類基本的初等函數，要實現與必修1的對接

顯然，函數單調性的學習在整個高中需經歷三個階段：第一階段，必修1——函數的基本性質，指數和對數函數的單調性；第二階段，必修4——三角函數 的單調性；第三個階段，文科選修1-1、理科選修2-2——導數及其應用. 每個階段的側重點不同，第一階段，側重函數單調性的概念理解和判斷（證明）程序的學習，第二個階段主要是求函數 的單調區間，第三個階段重點是用導數研究函數的單調性.從概念理解到程序操作，三角函數承前啟后，作用不可低估.用換元法和圖象變換求函數y=Asin（ωx+φ）+h的單調區間.

例3求函數y=2sin（2x+π13）圖象的對稱中心、對稱軸以及函數的單調區間.

分析：由y=2sin（2x+π13）的對稱中心是（kπ，0），對稱軸是x=kπ+π12，增區間是[2kπ-π12，2kπ+π12]，減區間是[2kπ+π12，2kπ+3π12]，得

y=2sin（2x+π13）的對稱中心是（kπ-π1312，0），對稱軸是x=kπ+π12-π1312，增區間是[2kπ-π12-π1312，2kπ+π12-π1312]，減區間是[2kπ+π12-π1312，2kπ+3π12-π1312].3.2 用單調性求 的最大（小）值例5 求函數 的最大值和最小值.析：當 時函數 遞減，也就是 時函數 遞增，即函數在 上遞增，在區間 上遞減，所以當 時， 取得最小值 ，又當 時 ，當 時 ，所以 取得最大值 綜上，三角函數與多個數學主題相連，不僅如此，這種鏈接還可以延伸到選修4-4“極坐標系”，延伸到向量空間，這里不再贅述.正如顧泠沅教授所說的：“在概念之間建立聯系” 可以“保持高水平認知”，同樣，教學中不斷地嘗試各種表征方式、各種數學活動方式，保持數學思想與方法之間的密切聯系，不斷地溝通各數學主題，或許可以提升教學的品質.

參考文獻：

[1]普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社.

[2]鄭毓信.數學教育：從理論到實踐—熱點透視與個案點評[M]. 上海：上海教育出版，2002，11.