解聲波散射問題的一種優化PML方法

楊孝英, 王旖旎

(長春工業大學 基礎科學學院, 長春 130012)

自從Bérenger[1]提出解電磁散射問題的PML方法以來, 已構造了許多不同的PML方法[2-4]. 文獻[5-6]用PML方法求解了洞穴散射問題, 但在實際計算中, 若PML的厚度過大, 則用有限元計算需要大量的剖分節點, 從而導致數值計算耗費內存和計算時間. 因此PML參量的確定是實際計算的關鍵. 本文提出一種帶小參數的PML, 并證明了如此構造的PML吸收效果較好.

1 解散射問題的優化PML方法

考慮散射問題:

(1)

a(u,ψ)=(g,ψ)ΓD, ?ψ∈H1(ΩR),

(2)

其中: (·,·)表示L2內積;

(3)

算子T:H1/2(ΓR) →H-1/2(ΓR)定義為

?f∈H1/2(ΓR).

(4)

則問題(2)的解存在唯一[8].

針對上述問題, Chen等[7]給出了圓形PML區域的自適應有限元方法; Bermúdez等[9]針對方形PML區域給出了解散射問題的一種優化PML方法, 即選取PML介質參量為在PML廣義積分無界的函數, 這樣選取的參量能保證PML計算與PML的厚度無關, 從而節省了計算量. 但文獻[9]選取的介質參量函數使PML方程的系數產生奇異, 因此導致數值分析及截斷PML問題的收斂性分析存在困難, 并且在數值計算中, 邊界層附近的PML解出現不穩定現象.

圖1 優化PML的幾何構造Fig.1 Geometric structure of optimal PML

本文基于文獻[7,9], 針對圓形PML區域提出一種新的PML介質參量構造方法. 如圖1所示, 在區域ΩPML={x∈R2:R

(5)

其中:ε0為足夠小的正數;m≥2.

令

(6)

(7)

(8)

證明: 由式(8), 有

由于

故

其中δ為PML的厚度. 證畢.

(9)

2 數值實例

例2考慮金屬凹槽的散射問題. 入射平面波為ui=eikx, 在其邊界上散射場u=-ui.

圖3為δ=1,2,0.5,ε0=0.01,0.005,0.001時PML解的實部曲線. 由圖3可見, 優化的PML方法對于解金屬凹槽散射問題有效.

[1] Bérenger J P. Perfectly Matched Layer (PML) for Computational Electromagnetics [M]. [S.l.]: Morgan & Claypool Publishers, 2007.

[2] CHEN Zhi-ming. Convergenc of the Time-Domain Perfectly Matched Layer Method for Acoustic Scattering Problems [J]. Inter J Numer Anal Mode, 2009, 6(1): 124-146.

[3] LIU Juan, MA Fu-ming. A PML Method for Electromagnetic Scattering from Two-Dimensional Overfilled Cavities [J]. Communications in Mathematical Research, 2009, 25(1): 51-66.

[4] YANG Xiao-ying, MA Fu-ming, DU Xin-wei. A Uniaxial Optimal Perfectly Matched Layer Method for Time-Harmonic Scattering Problems [J]. Communications in Mathematical Research, 2010, 26(3): 255-268.

[5] ZHANG De-yue, MA Fu-ming, FANG Ming. Finite Element Method with Perfectly Matched Absorbing Layers for Wave Scattering from a Cavity [J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2008, 25(3): 301-308.

[6] YANG Xiao-ying, MA Fu-ming, DU Xin-wei. An Optimal PML Method for Electromagnetic Scattering from Cavities [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2009, 47(2): 185-190. (楊孝英, 馬富明, 杜新偉. 計算開洞穴電磁散射問題的一種優化PML方法 [J]. 吉林大學學報: 理學版, 2009, 47(2): 185-190.)

[7] CHEN Zhi-ming, LIU Xue-zhe. An Adaptive Perfectly Matched Layer Technique for Time-Harmonic Scattering Problems [J]. SIAM J Numer Anal, 2005, 43(2): 645-671.

[8] Colton D L, Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory [M]. New York: John Wiley and Sons, 1983.

[9] Bermúdez A, Hervella-Nieto L, Prieto A, et al. An Optimal Perfectly Matched Layer with Unbound Absorbing Function for Time-Harmonic Acoustic Scattering Problems [J]. J Comput Phys, 2007, 223(2): 469-488.