風電系統電壓穩定性的Hopf分岔控制仿真

劉繼廣, 王海洋,, 鐘利軍, 劉英旋, 李 季, 馬幼捷

(1. 白城師范學院 機械工程學院, 吉林 白城 137000；2. 天津理工大學 天津市復雜系統控制理論及應用重點實驗室, 天津 300384)

風電具有很強的不確定性和隨機性, 大型風電場并網接入將改變系統原有的潮流和網損分布, 從而不同程度地影響接入區域電網的電壓穩定性[1]. 風電系統是一個高度非線性動力系統, 電壓失穩的外在表現是幅值振蕩失穩或瞬間大幅跌落, 分岔是其中的一個主要原因, Hopf分岔是電力系統最常見的分岔現象之一[2]. 分岔控制是通過設計控制器或相應算法改變系統的分岔特性, 進而獲得系統的預期動態行為延遲或消除系統Hopf分岔. 分岔控制方法目前主要有線性和非線性反饋、 Washout濾波器方法、 標準型理論方法及頻域分析和逼近方法等. 分岔控制的目的是消除或轉移系統原有的分岔點, 穩定分岔周期軌道, 引入新的分岔, 改變極限環的幅值等.

目前, 電力系統的Hopf分岔控制研究取得了一些成果, 例如: 文獻[3]提出了基于高通濾波器技術的電力系統Hopf分岔控制, 消除了系統存在的Hopf 分岔點, 增大了系統運行的穩定域； 文獻[4]基于不變項和規范型給出了電力系統分岔現象的線性和非線性控制的數學分析, 但未給出方法的有效性證明； 文獻[5]提出一種以系統負荷為參數的多機電力系統Hopf分岔在線控制方法, 以避免發生Hopf分岔； 文獻[6-7]結合參數穩定域的概念, 分別提出了提高電力系統大擾動穩定性和小擾動穩定性的最優分岔控制策略, 保證了系統的穩定性.

本文考慮風電系統的Hopf分岔控制問題, 計算了Hopf分岔點, 分析了無功功率對Hopf分岔點的影響, 并研究了靜止無功補償器SVC對延遲風電系統Hopf分岔的控制作用, 提出利用線性反饋方法消除風電系統的Hopf分岔. 數值仿真實驗驗證了理論分析結果.

1 Hopf分岔理論及穩定性

考慮非線性動力系統:

(1)

其中:x∈Rn表示狀態變量;μ∈J?R表示可變化的系統參數;f: Rn×J→ Rn為唯一的光滑非線性映射. 在平衡點處展開式(1), 有

(2)

其中A(μ)為式(1)在點(x0,μ)處的Jacobian矩陣. 當μ連續變化時, 式(1)可從一種響應突然跳變為另一種響應, 這種現象稱為分岔.如果A的特征根為一對共軛純虛根λ(μc)=α(μc)±jωc(μc), 即α(μc)=0, 且橫截條件α′(μc)≠0, 則式(1)從Lyapunov意義下的穩定性突然跳變為振蕩, 進而系統維持周期性的振蕩或振幅不斷增大而導致最終失穩, 這種分岔稱為Hopf分岔.

2 Hopf分岔的解析算法

當系統發生Hopf分岔后, 可通過求解分岔點附近的曲率系數正負判斷發生分岔的類型[8]. 本文利用解析算法求解系統(1)的曲率系數β, 式中變量含義參見文獻[8].

先在分岔點處, 計算式(1)的Jacobian矩陣A的特征值為λi(i=1,2,…,n), 將特征值根據Re(λ1)≥Re(λ2)≥…≥Re(λn)進行排序, 然后進行變量代換X=X*+UY(X*是系統的平衡點), 可得Y=f(Y), 當有n-2個實根和一對共軛復根時,U=(Re(V1),-Im(V1),r3,…,rn), 其中:V1表示λ1(μc)=jω0時的A(μc)特征向量;r3,…,rn表示μ=μc時對應于λ3,…,λn的一組特征向量. 如果特征根復根與實根數目不相同, 則U也具有上述形成規律. 曲率系數β的計算公式為

(3)

其中：

3 算例分析

典型含SVC的風電系統模型如圖1所示. 該模型由兩個發電機和一個風電場組成, G1為無窮大電源, G2為2階經典同步發電機模型, 風電場采用動態WALVE負荷等值的異步發電機[9-10], SVC安裝于風電場異步發電機的等值機端[8].

圖1 風電系統模型Fig.1 Model of wind power system

3.1 無功功率對風電系統Hopf分岔的影響

分岔與系統的參數變化關系密切, 當參數發生變化時, 系統將可能失去結構穩定性[11]. 異步發電機吸收的無功功率將在很大程度上影響風電場的穩定運行, 因此, 本文先基于延拓算法, 以風電場吸收的無功功率作為分岔參數進行電壓穩定性研究.

圖2為風電場的端電壓u隨無功功率Q1變化而發生分岔的曲線, 當異步風力發電機輸出的有功功率逐漸增加時, 其吸收的無功功率q會同時逐漸增加. 由圖2可見, 無功功率的增加會導致風電場的端電壓u下降, 當系統接近于極限點(limit point, LP)前, 即q=1.499 884時, 系統電壓u=0.908 584, 風電系統發生Hopf分岔, 根據本文給出的解析算法, 可求得此時風電系統特征根為一對共軛虛根λ(μc)=±j7.324 8, 系統的曲率系數β=0.031 5. 由Hopf分岔理論, 此時系統發生亞臨界分岔. 當風電系統發生亞臨界Hopf分岔時, 在分岔點附近, 將會由Lyapunov意義的漸近穩定性跳變到不穩定的非線性振蕩, 故風電場吸收的無功功率將影響系統的電壓穩定性.

3.2 SVC對風電系統Hopf分岔的影響

圖3為加裝靜止無功補償器SVC(Kr=1.5,Tr=0.02)后風電場端電壓的Hopf分岔曲線. 通過對比圖2可知, 加裝SVC后, 提高了風電系統的電壓水平, 增加了發生Hopf分岔對應的H1點的無功功率(q=11.531 989), 且H1點逼近于LP點. 仿真結果表明, 靜止無功補償器SVC通過補償風電場所吸收的無功功率, 延遲了Hopf分岔點, 有效提高了系統的電壓穩定運行域, 但SVC不能消除Hopf分岔點, 使系統安全運行在極限點前.

圖2 q對無SVC風電系統Hopf分岔的影響Fig.2 Effect of q on Hopf bifurcation of a wind power system without SVC

圖3 q對加裝SVC風電系統Hopf分岔的影響Fig.3 Effect of q on Hopf bifurcation of a wind power system with SVC

3.3 風電系統Hopf分岔的線性反饋控制

線性反饋控制是非常有效的分岔控制方法, 可應用于高維系統及多種分岔現象的控制[12]. 本文針對風電系統的亞臨界Hopf分岔, 采用線性反饋控制器進行控制.

對式(1)的線性化系統(2)施加狀態反饋控制, 則受控的線性系統為

x=A(μ)x+Bu,

(4)

其中:B∈Rn×n是待定的常數矩陣;u∈Rn是控制向量,

u=-k(x-x0),

(5)

k∈Rn×n表示待定的常數矩陣, 可通過閉環系統(4)的x=A(μ)x-Bk(x-x0)在平衡點處的Jacobian矩陣所選定特征值求取.

對于上述風電系統

x=(δ,ω,θ,u,b)T,f=(f1,f2,…,fn)T.

(6)

(7)

其中k=(kij)為反饋增益矩陣, 可有n2個元素作為控制參數. 可取對角陣

(8)

作為反饋增益矩陣, 當kii都取正值而絕對值又足夠大時, 目標態達到穩定, 有

反饋控制可針對少數變量甚至單個變量, 通過參數的合適選擇, 即可達到通過單一變量穩定目標態, 甚至控制分岔的目標. 本文取

(9)

可使系統(3)的主導極點遠離虛軸, 其他的極點為遠離主導極點的負實數, 不對閉環系統產生影響, 消除了Hopf分岔. 當原風電系統的運行點受負荷的小擾動而偏離平衡點時, 即可在反饋控制器作用下快速回到平衡點.

圖4為在不改變系統(6) 平衡點的前提下, 采用上述線性狀態反饋控制的Hopf分岔曲線. 顯然加入反饋控制后, 系統的Hopf分岔點被消除, 但該反饋不能為系統提供無功功率, 所以風電場的電壓水平并未得到提高. 圖5為含SVC風電系統Hopf分岔的線性變量反饋控制曲線. 由圖5可見, Hopf分岔點被消除的同時, 由于SVC能夠補償風電場吸收的無功功率, 所以電壓穩定域得到提高.

圖4 不含SVC風電系統Hopf分岔 的線性變量反饋控制曲線Fig.4 Hopf bifurcation linear feedback control curve of the wind power system without SVC

圖5 含SVC風電系統Hopf分岔 的線性變量反饋控制曲線Fig.5 Hopf bifurcation linear feedback control curve of the wind power system with SVC

綜上可見, 基于異步發電機的風電系統屬于非線性動力系統, 具有非線性動力系統獨有的分岔現象. 本文通過對風電系統的分岔現象進行分析, 研究了無功功率對風電系統電壓穩定性的影響. 結果表明, 采用單個變量的反饋控制方法對含SVC風電系統的Hopf分岔點可進行有效控制, 消除了Hopf分岔點, 防止了電壓崩潰, 且易于實現.

[1] Eknath V, Mark O M, Andrew K. A Steady-State Voltage Stability Analysis of Power Systems with High Penetrations of Wind [J]. IEEE Trans on Power Systems, 2010, 25(1)： 433-442.

[2] LI Hong-zhong, CHENG Hao-zhong, TENG Le-tian, et al. A Direct Method for Computing Hopf Bifurcation Point in Power System Dynamic Voltage Stability [J]. Proceedings of the CSEE, 2006, 26(8)： 28-32. (李宏仲, 程浩忠, 滕樂天, 等. 以簡化直接法求解電力系統動態電壓穩定分岔點 [J]. 中國電機工程學報, 2006, 26(8)： 28-32.)

[3] MA You-jie, LI Xiao-shuang, ZHOU Xue-song. Hopf Bifurcation Control of Power System Based on High-Pass Filter Technology [J]. Power System Technology, 2011, 35(7): 76-80. (馬幼捷, 李小雙, 周雪松. 基于高通濾波器技術的電力系統霍普分岔控制 [J]. 電網技術, 2011, 35(7): 76-80.)

[4] QIAO Yu, WANG Hong-li, ZHU Zhi-wen. Bifurcation Control of Power Systems [J]. Acta Mechanica Sinica, 2002(34)： 380-383. (喬宇, 王洪禮, 竺致文. 電力系統的分岔控制研究 [J]. 力學學報, 2002(34)： 380-383.)

[5] WANG Shao-bu, JIANG Quan-yuan, CAO Yi-jia. On-Line Hopf Bifurcation Control in Multi-machine Power System [J]. Automation of Electric Power Systems, 2008, 32(11)： 1-5. (王韶部, 江全元, 曹一家. 多機電力系統Hopf分岔的在線控制 [J]. 電力系統自動化, 2008, 32(11)： 1-5.)

[6] GU Wei, JIANG Ping, TANG Guo-qing. Optimal Bifurcation Control to Improve Large-Disturbance Stability of Power Systems [J]. Electric Power Automation Equipment, 2007, 27(11)： 12-17. (顧偉, 蔣平, 唐國慶. 提高電力系統大擾動穩定性的最優分岔控制策略 [J]. 電力自動化設備, 2007, 27(11)： 12-17.)

[7] GU Wei, JIANG Ping, TANG Guo-qing. Optimal Bifurcation Control to Improve Small-Signal Stability of Power Systems [J]. Electric Power Automation Equipment, 2007, 27(10)： 29-33. (顧偉, 蔣平, 唐國慶. 提高電力系統小擾動穩定性的最優分岔控制策略 [J]. 電力自動化設備, 2007, 27(10): 29-33.)

[8] DENG Ji-xiang, ZHANG Xin-yu, TONG Jian-dong. Study on Effect of System Parameters for Hopf Bifurcation [J]. Transaction of China Electrotechnical Society, 2007, 22(9)： 130-135. (鄧集祥, 張新宇, 童建東. 系統參數對Hopf分岔影響的研究 [J]. 電工技術學報, 2007, 22(9)： 130-135.)

[9] LI Hui, HAN Li, ZHAO Bin, et al. Effect of Equivalent Models of Wind Turbines on Analysis Results of Transient Stability for Wind Generator Systems [J]. Proceedings of the CSEE, 2008, 28(17)： 105-111. (李輝, 韓力, 趙斌, 等. 風電機組等效模型對機組暫態穩定分析結果的影響 [J]. 中國電機工程學報, 2008, 28(17)： 105-111.)

[10] Hua O W, Eyad H A, Anan M. Bifurcations, Chaos and Crises in Voltage Collapse of a Model Power System [J]. IEEE Trans on Circuits and Systems-I Fundamental Theory and Applications, 1994, 41(3)： 294-302.

[11] Seydel R. Practical Bifurcation and Stability Analysis: from Equilibrium to Chaos [M]. New York: Springer-Verlag, 1994.

[12] WU Zhi-qiang, SUN Li-ming. Hopf Bifurcation Control of the Rossler System Based on Washout Filter Controller [J]. Acta Phys Sin, 2011, 60(5)： 1-5. (吳志強, 孫立明. 基于Washout濾波器的Rossler系統Hopf分岔控制 [J]. 物理學報, 2011, 60(5)： 1-5.)