長壽風險、投資組合與退休決策

胡仕強

(浙江財經學院金融學院，浙江 杭州 310018)

一、引 言

近年來，資本市場的表現和退休決策之間的關系越來越引起人們的關注。根據生命周期理論，工作期的人們積累了大量儲蓄財富為退休后的生活籌集資金，而這些財富中的相當大一部分都會直接或是通過養老金計劃投資于股市，因此股市的表現將極大地影響到人們為退休生活籌資目標的實現，從而也影響到人們的退休決策。

研究退休決策的文獻很多，其中一篇非常重要的文獻是 Bodie、Merton and Samuelson(BMS1992)的論文。BMS(1992)［1］在生命周期模型中首次考慮了個人的勞動與休閑選擇，即勞動供給的靈活性，并探討了這種靈活性對個人當期消費決策及對金融資產最優投資策略的影響。順此脈絡也衍生出了一系列有價值的研究文獻，如Jun Lin and Eric Neis(2002)［2］、Emmanuel Farhi and Stavros Panageas(2007)［3］等。Jun Lin and Eric Neis(2002)中，作者考察了投資組合和退休決策的互動關系，其結論是對一個有常數工資水平的個人來說，股市表現的好壞將直接決定其是提前還是推遲退休。與Jun Lin和Eric Neis(2002)不同，Emmanuel Farhi and Stavros Panageas(2007)中，個人勞動供給的靈活性是通過一個不可逆轉的退休年齡的選擇來實現的，它帶有明顯的期權定價特征并依賴于總資產和距離法定退休的時間。國內學者對相關問題的研究相對較少，其中孫佳佳和吳錚(2009)［4］利用問卷調查的數據通過逐步線性回歸，尋找能夠對個人退休決策起到良好預測作用的關鍵因素。李志生(2007)［5］考慮了退休計劃中養老金年金購買決策問題，但在建模中沒有考慮中國現行的統賬結合養老金體制。袁力、朱文革(2010)［6］通過建立跨期決策模型探討了經濟個體在面臨不確定性時的投資決策問題。但作者并未考慮壽命不確定性風險對經濟個體投資決策的影響。戴麗娜(2010)［7］利用動態面板模型，探討了不確定性對居民消費儲蓄的影響。但文章并沒有考慮不確定性對生命周期行為等個人金融決策的影響。可見壽命不確定性對投資組合和退休決策的影響較少進入國內學者考察的視野，壽命不確定性、投資組合與退休決策三者之間的互動關系更是鮮有涉及。

本文在借鑒上述文獻研究結論的基礎上，主要在以下兩個方面做了新的嘗試:首先，上述文獻在探討投資組合和最優退休決策時，都忽略了人口預期壽命會趨勢性增加這一重要的人口學特征。本文中我們將把長壽風險納入個人最優化決策，并討論其對個人投資組合和退休決策的影響。其次，雖然本文和BMS(1992)一樣，關注人力資本財富在個人的消費、投資和退休決策中的作用，但與BMS(1992)及上述文獻不同的是，這里我們把個人將來的工資收入和退休后的養老金收入(本文只考慮我國的個人賬戶養老金體制)都納入人力資本，以此來作為解釋投資組合選擇和退休決策的一個重要變量，并得出了一些有意義的結論。為了簡化分析，我們假定工資收入和個人賬戶養老金的替代率都是常數，此外本文在技術處理上主要參考了Cox and Huang(1989)［8］、Karatzas and Shreve(1998)［9］和 Wachter(2002)［10］等。

二、最優消費決策

個人在Blanchard時刻的(剩余)終生效用函數如下:

顯然u(c)是個人從消費獲得的即時效用，T是個人預期壽命，D(s)是s時勞動的負效用，χ在工作期取值為1，在退休期取值為0，ρ是常數的時間偏好參數。

個人的金融財富是F(t)，投資于風險資產上的比例為π，其余的投資于無風險資產，其收益率為r，風險資產的價格服從一般的伊藤過程:

式中μ(t)是時變參數，σ＞0，且為常數，z是完備概率空間 (Ω，F，P)上的一維布朗運動。這里我們定義隨機折現因子為:

式中θ為風險的市場價值，即夏普比，它服從Ornstein-Uhlenbeck過程，即:

個人在工作期間還可以獲得勞動收入并向個人賬戶養老金體制繳費，在退休后獲得退休金。這樣我們可以把個人的動態預算方程寫成如下的形式:

(5)式中τ是我國個人賬戶養老金體制中個人繳費所占工資的百分比，ζ是養老金替代率。

對Mt和Ft的乘積應用伊藤定理并積分和取期望，這樣在一個動態和完備的市場上我們就把(5)類型的動態預算約束方程轉變成下式的靜態跨期預算約束:

這樣個人就可以基于t時的信息通過消費和退休年齡的選擇來解這個靜態的最優化問題。這里，個人的優化問題就可以寫成下面的拉格朗日乘子問題:

這里我們假定一個CRRA的效用函數u(c)=cγ/γ，γ＜1，并且終期遺贈函數為0，最優化的一階條件為:

我們把 (8)式代入 (6)式就得到當期財富和消費之間關系的方程如下:

(9)式右邊第二項是工作期的工資和退休期所領取的養老金在t時的現值和，我們稱之為人力財富。這里我們假設工資是常數，故養老金福利也為常數，因此其金融隨機折現因子也就變成Mt=ert，所以人力財富的表達式為:

從(9)式我們可以得到消費和總財富之間的關系。當然從Cox and Huang(1989)［8］我們也知道，在解個人的消費和頭寸選擇問題時，也可以將個人總財富看作一種資產，該資產將支付等于個人消費額的連續紅利，這樣財富的當期值就等于個人計劃期紅利流的折現值加上終期財富折現值的期望。這里因為假定沒有遺贈動機，所以最優化的終期財富應該是0，所以我們得到:

為了求解和下文的推理方便我們把(11)式改寫成:

顯然上式中Mt，s=Ms/Mt，而且項我們可以通過測度變換很容易求得，即:

這樣我們可以把(12)式進一步簡化變形為:

可見本文用鞅方法得出的結論(14)式和R．Merton(1971)［11］隨機優化方法得出的經典結論是完全一致的。對(14)式的分析可以讓我們得到以下兩點重要結論:

首先，(14)式右邊第一個等式的分母可以看成是夏普比θ的函數，這樣，當γ＜0且θt＞0，即風險資產的超額收益率為正時，有?(Ct/Wt)/?θt＞0，可見風險資產的超額收益率越大，邊際消費傾向就大，個人消費其終生財富的比例就越大。顯然，當γ＜0時，消費的跨期替代彈性就小于1，也就是說，此時對一個正的風險溢價μ－γ，收入效應會大于替代效應，個人將有能力支付更多的當期消費，導致消費相對于當期財富的增加。同時從(11)式我們還可以看出拉格朗日乘子λ是Wt和Mt的函數，而Wt也是λ和Mt的函數，故任何時點的消費僅僅依賴于定價核的當期值，即(M)。因此綜合上面的(3)式和(8)式我們容易知道，當股價高時，定價核就低，消費就高;反s之，股價低時，消費就低。

其次，當預期壽命增加時，消費—財富比將減小，即?(Ct/Wt)/?T＜0，即當壽命延長后，所得財富將在更長的期間內分攤，消費—財富比自然就會減少;但問題是結合(10)式可以看出，?Ht/?T＞0，也就是說長壽風險增加后，在退休年齡不變的情況下，人力財富和總財富也會增加，此財富效應會增加消費。由此可見，長壽風險一方面通過降低邊際消費傾向減少消費，另一方面又通過財富效應來增加消費，綜合影響當看公共養老金體制的安排所帶來的財富效應的大小。

三、投資組合決策

由(3)式和上文中動態完備市場的存在 (無套利條件)，隨機折現因子 (定價核)必然滿足:

基于(11)式，并注意到(11)式中的Mt和(4)式中的θt都是馬爾科夫過程，這樣我們就知道最優總財富在t時是定價核Mt，夏普比θt和個人計劃期t的函數。應用伊藤定理，最優財富過程W(Mt，θt，t)滿足下式:

上式中的總財富的下標分別表示其對定價核和夏普比的偏導數，其中:

同時按照與(5)式相同的方法，我們可以得到總財富的動態方程:

將上式簡化，我們就得到為個人最優消費計劃融資的風險資產的組合權重為:

正如Wachter(2002)［10］所言，這樣定義的久期依然具有人們所期望的性質，即當γ＜0，且μγ＞0時，投資者的消費流對θ的久期依然會隨著投資期限的增大而增大。顯然當預期壽命延長時，總財富這種債券的期限延長，故上式定義的久期必然延長，個人持有的作對沖需求的風險資產的份額自然就增加。由此可以看出，長壽風險會增加人們對風險資產的持有份額。也就是說預期壽命的延長對個人退休時的總財富提出了更高的要求，為了籌得更多的資金，最直接的激勵就是增加對風險資產的投資額度。

根據我們對金融財富和總財富中投資于風險資產的權重的定義，顯然有(Ht+Ft)=πFt，即將其和(21)式一起代入(20)式并整理得:

我們知道在存在人力財富的情況下，經濟金融風險并不完全由金融財富來承擔，相當一部分的經濟金融風險是由人力財富來吸收的，因此人力財富的充裕使人們有能力投資更大額度的風險資產。隨著工資水平、養老金替代率以及預期壽命的增加，人力財富都會增加，從而增加個人緩沖風險的能力，使之能夠更多地投資風險資產。另外，如果根據中國人口和(個人賬戶)養老金體制的實際狀況來給(10)式賦值，我們不難發現，隨著退休年齡的推遲，人力財富會相應增加;也就是說，面對負面的沖擊，如果可以推遲退休的話，人們就不必用消費來吸收風險(減小消費)，而只要用從推遲退休年齡所獲得的人力財富進行緩沖即可，從而具備抵御更大沖擊的能力，提高其風險資產的持有額度。

四、最優退休決策

為了獲得最優退休年齡，我們先考慮如下的派生效用函數:

結合預算約束(5)，我們可以得到如下的Bellman方程:

分別對χ和C求導得到如下兩個一階條件，從而推得:

這里我們為了簡化分析，設勞動的負效用D和工資w皆為常數，這樣推遲退休繼續工作一年所得的額外收入等于所得工資(1－τ)w減去損失的養老金(1－ι－ζ)，這樣上式就表示推遲退休的邊際負效用等于繼續工作所獲得的額外收入帶來的消費邊際效用。我們令(1－τ－ζ)w=Y，并把消費邊際效用的表達式代入(25)式可得:

對最優退休年齡R的一些比較靜態學分析會得到非常有用的結果，首先我們容易知道即隨著總財富的增加最大退休年齡將減小。顯然人力財富和金融財富的增加這兩條路徑都會導致總財富的增加。從下式我們可以清晰地看出股市的繁榮(風險資產的超額收益變大)對退休年齡的影響:

顯然我國目前實行法定退休年齡的情況等于取消了個人提前退休的選項。這里為了簡化分析并和實際問題相對應，我們假定個人的最優退休年齡R和作為中央計劃者政府所制定的法定退休年齡是一致的。根據本文前面的論述，我們知道R是個人基于t的信息對個人投資消費決策進行最優化所得出的最優退休年齡，與之相對應的是到時點R時的最優化財富WR=必然能保證其后的最優化消費，即滿足(28)式。然而問題是個人的最優化決策中并沒有考慮預期壽命的變動，當預期壽命由T延長到，R時實際需要的退休財富應該是:

可見如果個人沒有考慮預期壽命的變化而是按照固定預期壽命下的優化策略行事，他實際上是把本該分配給T至期間的財富在T時刻之前就分攤消費掉了，這無異于寅吃卯糧。顯然面對預期壽命的變化，在α時只有兩種補救措施:一是推遲退休增加工作期的長度，這也是目前政府正在考慮的選項;另一個就是降低退休期的消費標準。顯然這兩種都是難以令人接受的。而根本性的解決方法就是未雨綢繆，在整個工作期間增加資本積累，為(29)式右邊第二項的額外財富需求融資。從財富增長的兩條路徑我們知道，個人只能采取第一條，即增加對風險資產的投資以提高其金融資產;而在財富增長的另一條路徑即提高人力財富方面，政府卻有著非常廣闊的政策空間，包括調整工資制度和改革養老金體制，使之朝著更有利于資本積累的方向發展。

五、結論與建議

本文的研究結論表明:投資策略會通過其對總財富的影響而對退休決策起到關鍵性的作用，而人力財富不僅可以通過總財富效應影響退休決策，還可發揮其作為不利沖擊“緩沖器”的作用來影響投資策略;反之，退休決策作為勞動供給靈活性的一種選擇方式也會影響人力財富的大小，同時也必然會有助于吸收風險，在不考慮長壽風險的情況下也會影響投資組合策略。而預期壽命的延長作為外生變量又會增加人力財富，使投資者提高投資風險資產的權重和推遲退休來應對養老資源不足的風險。

這里我們更關注的是本文的結論如何有助于甄別應對長壽風險的合理政策選項。隨著我國人口老齡化問題的日趨嚴重，推遲退休年齡的呼聲不絕于耳，好像推遲退休年齡成了應對長壽風險的唯一法寶。我們知道當退休年齡固定不變時，為了應對長壽風險，人們將未雨綢繆，在長達幾十年的整個工作期內增加儲蓄和資本累積，而資本積累是經濟增長的重要源泉。對此，政府要做的就是對人們的這種自發趨勢進行引導，對包括養老金系統和工資制度在內的各種體制進行完善和改革，使之朝著有利于資本積累的方向發展。由此可見，作為應對長壽風險的主要手段，增加資本積累既有其個人的微觀意愿，又會成為推動整個宏觀經濟的重要一環，可以說是雙贏的選項。而反觀推遲退休，如果它只是作為應對長壽風險的理性反應，那么在推遲退休的短短幾年里，所產生的總財富凈增額是立刻就要被用來貼補退休后生活的，無法進行長期的資本投資和累積，也就無法參與和推動經濟的發展，從這一角度來說，它是一個孤立的體外循環的策略，無法像資本積累那樣產生有利的宏觀經濟效果。

因此本文得出的一條重要的政策建議就是:面臨長壽風險時，與單純提高退休年齡相比，在保持原有退休年齡的基礎上，對現有養老金體制進行改革和完善，使之更有利于資本累積，也許是更加可行的應對長壽風險的解決方案。

［1］ Bodie，Z．，R．C．Merton and W．F．Samuelson．，Labor Supply Flexibility and Portfolio Choice in a Life Cycle Model［J］，Journal of Economic Dynamics and Control，1992，16(3－4)，427－49．

［2］ Liu，J．，E．Neis．，Endogenous retirement and portfolio choice，2002，Working paper UCLA．

［3］ Emmanuel Farhi．，Stavros Panageas．，Saving and Investing for early Retirement:A theoretical Analysis ［J］，Journal of Financial Economics，2007，83(1):87 －121．

［4］ 孫佳佳，吳錚．個人退休決策的影響因素研究 ［J］，湖北社會科學，2009，(5):51－54．

［5］ 李志生．退休計劃中養老金年金購買決策的建模與分析［J］．數量經濟技術經濟研究，2007，(12):72－82．

［6］ 袁力，朱文革．風險、保險與投資在跨期模型中的關系研究［J］．財經論叢，2010，(6):50－55．

［7］ 戴麗娜．習慣形成、不確定性、流動性約束與居民消費［J］．商業經濟與管理，2010，(3):58－63．

［8］ Cox J．，Huang C．F．，Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a diffusion process ［J］，Journal of economic theory，1989，49，33 －83．

［9］ Karatzas，I．，Shreve，S．E．，Methods of mathematical finance．Applications of Mathematics ［M］，1998，vol．39，Springer，New York and Heidelberg．

［10］ Wachter，J．，Portfolio and Consumption Decisions under Mean-Reverting Returns:An Exact Solution for Complete Markets ［J］，Journal of Financial and Quantitative Analysis，2002，37，63 －91．

［11］ Merton，R．C．，Optimal consumption and portfolio rules in a continuous-time Model［J］，Journal of Economic Theory，1971，3，373－413．