淺談交換積分次序

蘇曉海

（陜西理工學院 數學與計算機科學學院，陜西 漢中 723001）

在任何一次《高等數學》的考試中，都至少必有一道題是關于交換積分次序的，因此掌握交換二重積分的積分次序就顯得非常必要。 本文我們通過幾個例子來談一談如何交換積分次序。

引理 設閉區域D 既是X-型，又是Y-型，即

D=｛（x，y）|a≤x≤b，φ1（x）≤y≤φ2（x）}，或D=｛（x，y）|c≤y≤d，ψ1（y）≤x≤ψ2（y）}，則

公式（1）叫做把二重積分化為先對y 后對x 的累次積分，而公式（1）叫做把二重積分化為先對x 后對y 的累次積分。

所謂的交換二重積分的積分次序就是：如果原來是先對y后對x 的累次積分， 那么把它化為先對x 后對y 的累次積分（如果原來是先對后對的累次積分，那么把它化為先對y 后對x的累次積分）。

大多數同學覺得交換二重積分的積分次序較難， 原因是沒有掌握好交換積分次序的主要方法和步驟。 下面我們就以把公式（1）轉化為公式（2）來介紹交換二重積分的積分次序的方法：

（1）在坐標面上畫出四條曲線x=a，x=b，y=φ1（x），y=φ2（x），它們所圍成的閉區域就是積分區域（如圖1）。

（2）再把積分區域看成型，即D=｛（x，y）|c≤y≤d，ψ1（y）≤x≤ψ2（y）}。

（3）交換積分次序，得

以上三個步驟中，最關鍵的一步就是（1），很多同學不會交換積分次序其實最大的問題就是弄不清楚積分區域是怎樣的區域。 三個步驟中的第一步主要是畫四條曲線來確定積分區域，因此我們可以把這種交換積分次序的方法叫“四曲線法”。下面舉幾個具體例子。

（2）D 是Y-型區域：D={（x，y）|0≤y≤2，y2≤x≤2y}；

（3）交換積分次序，得

圖1

這道題由于對x 積分時， 被積函數e-x2的原函數不存在，所以沒辦法直接計算。 但是，如果先交換一下積分次序，問題就解決了。

解 （1）畫四條曲線：y=0，y=1，x=0 和x=2y，得積分區域D1（如圖2）；再畫四條曲線：y=1，y=3，x=0 和x=3-y，得積分區域D2（如圖2 中的陰影部分）；

（2）D=D1∪D2是X-型D={（x，y）|0≤x≤2，≤y≤3-x}；

（3）交換積分次序，得

圖2

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（上下冊）.第五版.北京：高等教育出版社，2002

[2]王樹勛，田壤等.高數學（上下冊）.第三版.西北工業大學出版社，2012