剖析等價無窮小代換求解極限運算

楊春芝

（鐵嶺市師范高等專科學校，遼寧 鐵嶺 112001）

無窮小在數學理論研究上和實際工程應用中都具有重要作用，特別是在極限運算中具有獨特的優勢。正確合理的運用等價無窮小代換，會給極限求解帶來極大的方便，甚至能夠完成諾必達法則不能完成的極限求解。

1 無窮小定義及常用等價無窮小總結

1.1 無窮小定義

設函數f（x）在x0的某一去心領域內有定義（或大于某一正數時有定義）。 如果對于任意給定的正數ε （不論它多么小），總存在正數δ（或正數X），使得對于適合不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞X）的一切x，對應的函數值f（x）都滿足不等式|f（x）|＜ε，那么稱函數f（x）當x→x0（或x→∞）時為無窮小。 記作（或f（x）=0）。

1.2 常用等價無窮小總結

通常所用的初等函數有這樣五類： 三角函數、 反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數，復雜方程式的求解中也為這五類初等函數的組合運算。 以下列舉出這五類初等函數的無窮小代換：

在當x→0 時：

冪函數無窮小代換：（1+x）a-1～ax （a 可以取整數也可以取分數）；

指數函數無窮小代換：ex～x+1，ax～lna×x+1；

對數無窮小代換：ln（1+x）～x，loga（1+x）～x/;lna；

差的無窮小代換：1-cosx～x2/2，x-sinx～x3/6，tanx-x～x3/3，xln （1+x）～x2/2，tanx-sinx ～x3/3，x-arctanx ～x3/3，arcsinx-x ～x3/6，arcsinx-arctanx～x3/2；前面兩個代換后為二次函數，后面代換為三次函數。 而且從代換的等價無窮小方程式來看，代換的方程式明顯比前面未代換的方程式簡單得多。

2 無窮小代換求極限運算與羅比達法則對比

使用洛必達法則進行求解極限運算， 是我們計算極限時的首選方式，而且在絕大多數情況下，確實也能夠獲得快而且準確的結果。 但在一些復雜的求解中，洛必達法則并不具有優勢，如帶有三角函數和反三角函數的加減運算，因為三角函數中sinx、cosx 的兩次導數就回到了本身。 現舉例說明無窮小代換求解極限運算與羅比達法則對比：

當然，這需要熟記一些等價無窮小。 需要注意的是，等價無窮小的運用往往不止一次，只要發現運用洛必達法則運算困難，則可以嘗試等價無窮小代換。

3 等價無窮小代換應注意問題

根據等價無窮小的定義， 當方程式的乘積因子為無窮小時，則可利用等價無窮小進行代換。 但如果方程式中有因子為無窮小，但為加減法運算，則需要考察代換的條件是否成立。

3.1 無窮小因子處于加減法運算中

但在求解中，正確采用等價無窮小代換，則會得到：

在求解中， 因為無窮小因子tanx 是作為乘積因子出現在方程式中。

3.2 在無窮小代換中需注意趨近的值

在進行無窮小代換中需確定的是：第一，必須是無窮小；第二，必須是等價無窮小之間才能進行替換。 見下例：

在本題中，如果將用代換，導致錯誤的結果為1。正確計算結果應當為:

4 等價無窮小代換總結

（1）乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的。 這時，滿足條件則可進行代換，不滿足可用泰勒公式、洛必達法則等方法來求極限。

（2）如果采用洛必達法則求導運算，在進行一次導數后，先觀察一下求導后的方程式能否進行等價無窮小替換，如果能替換，則進行替換。