頻率域位場延拓表達式的一種簡單推導

劉彩云 (長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州 434025)

頻率域位場延拓表達式的一種簡單推導

劉彩云 (長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州 434025)

提出了一種頻率域位場延拓表達式的簡單推導方法。從位場拉普拉斯方程出發，采用傅里葉變換將拉普拉斯第一邊值問題轉換為頻率域二階常微分方程，通過求解該常微分方程得到頻率域位場延拓表達式。

位場延拓；頻率域；普拉斯方程；傅里葉變換

位場延拓包括向上延拓和向下延拓，向上延拓可突出深部(區域)異常、壓制淺部(局部)異常；向下延拓則相反，可突出淺部(局部)異常、壓制深部(區域)異常[1]，位場延拓在重磁資料解釋中有重要應用[1,2]。

傳統解析延拓推導方法是求解Laplace偏微分方程[3,4]得到空間域解析延拓公式，再由傅里葉變換得到頻率域延拓公式。下面，筆者提出一種簡單的頻率域位場延拓推導方法。

1 傅里葉變換的時頻微分性質

傅里葉變換的時頻微分性質表明，函數f(x)的k階導數的傅里葉變換等于函數f(x)傅里葉變換乘上因子jω的k次方，通過該性質，可以將時域函數的微分轉換到頻域計算。

2 推導過程

將觀測平面上的已知位場數據(重力異常或者磁異常)用數學解析的方法換算成較高平面上的異常，稱為位場的解析上延拓，反之，將已知平面異常換算成低平面上的異常，稱為解析下延拓。

假設在某觀測面上的位場數據為已知，則根據此位場數據來計算不包含場源的其他高度的位場數據，就可以歸結為求解拉普拉斯方程第一邊值問題：

(1)

式中，函數f(x,y,z)表示高度為z處的位場數據，f(x,y,0)表示地表(z=0)觀測的位場數據。

空間域與頻率域變量分別對應為：

(2)

由傅里葉變換的時頻微分性質，拉普拉斯方程的傅里葉變換為：

(3)

即：

(4)

位場延拓公式(1)在頻率域可描述如下的二階微分方程：

(5)

方程(4)中其他變量相對z來說都是常量，令:

方程(4)即為：

F″-CF=0

(6)

這是關于變量z的二階常微分方程，求解該二階常微分方程可得其通解：

(7)

(8)

帶入初始條件F(u,v,z)|z=0=F(u,v,0)可確定系數c1=F(u,v,0)，由此，可得到頻率域拉普拉斯方程(5)的解為：

(9)

公式(1)～(9)是利用傅里葉變換的時頻微分性質推導頻率域位場延拓公式的過程。式(9)是頻率域位場延拓的表達式，對式(9)進行反傅里葉變換就可以得到上半空間空間域的位場數據。

3 結 語

利用傅里葉變換的時頻微分性質，將拉普拉斯第一邊值問題的二階偏微分方程在頻率域轉換為二階常微分方程，求解該二階常微分方程得到頻率域位場延拓表達式。該推導方法推導過程簡單，有助于加深對位場延拓的理解。

[1]管志寧.地磁場與磁力勘探[M].北京：地質出版社，北京，2005.

[2]陳龍偉，胡小平，吳美平，等.空間域位場延拓新方法研究[J].地球物理學進展，2012，27(4):1509-1528.

[3]焦紅兵，賈美枝.一類非線性的偏微分方程的解[J].數學的實踐與認識，2007，37(12):153-160.

[4]龔東山，牛富俊.一類高階非線性微分方程解的研究[J].長江大學學報(自然科學版)，2008，5(4):28-30.

[5]熊俊.一類二階微分方程邊值問題正解的存在唯一性討論[J].長江大學學報(自然科學版)，2006，3(3)：12-14.

2013-05-10

國家自然科學基金項目(11201039；61273179)；湖北省教育廳重點項目(D20101304)。

劉彩云(1975-)，女，副教授，博士生，現主要從事最優化理論與算法方面的教學與研究。

O171.2

A

1673-1409(2013)28-0004-02

[編輯] 洪云飛