《線性代數》例習題教學研究

成庭榮 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

《線性代數》例習題教學研究

成庭榮 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

從一題多解、一題多用、一題多變3個方面對《線性代數》例習題教學進行了研究。運用一題多解進行教學，有利于培養學生的發散性思維，這樣才能使學生真正具有創新能力和創新精神；綜合地進行一題多用的教學，可使學生對所學知識縱向加深，橫向溝通，誘導學生對某一問題深入研究，持續思考，整合已學知識，拓展其內蘊，有利于培養學生思維的連續性；通過一題多變的教學，可使學生對所學知識靈活變通，積極思索，激發學生的學習熱情，對問題的本質認識、理解得更深刻，有利于培養學生思維的靈活性。

《線性代數》；例習題教學；一題多解；一題多用；一題多變

《線性代數》課本[1]和參考書中，有些例習題具有豐富的內涵，在由知識轉化為能力上，具有示范性和啟發性，在解題思路和方法上具有典型性和代表性，如果不以得到解答而滿足，而是在解完之后，進一步深入地挖掘和多方位的探索，這對于培養學生良好的思維品質是十分有益的[2]。下面，筆者對《線性代數》例習題教學進行了研究。

1 一題多解，培養學生思維的發散性

例1設矩陣A=(a1,a2,a3,a4)，其中a2,a3,a4線性無關，a1=2a2-a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解。

解法1令x=(x1,x2,x3,x4)T是方程Ax=b的解，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b，所以：x1(2a2-a3)+x2a2+x3a3+x4a4=a1+a2+a3+a4=2a2-a3+a2+a3+a4

即：

(2x1+x2-3)a2+(-x2+x3)a3+(x4-1)a4=0

因為a2,a3,a4線性無關，從而{2x1+x3=3,-x1+x3=0,x4=1 ,解之得：

解法2因為a1=2a2-a3，則a1,a2,a3線性相關，從而a1,a2,a3,a4線性相關，而a2,a3,a4線性無關，所以R(A)=3，從而方程Ax=0的解集的秩為1，由a1=2a2-a3可知x=(1,-2,1,0)T是Ax=0的解，又因為b=a1+a2+a3+a4所以(1,1,1,1)T是方程Ax=b的一個特解，從而Ax=b的通解為：

用多種知識和方法處理同一問題，可以引導學生從不同角度，不同方位去思考和處理問題，從而拓寬思路。運用一題多解進行教學，有利于培養學生的發散性思維，這樣才能使學生真正具有創新能力和創新精神。

2 一題多用，培養學生思維的連續性

例2設m×n矩陣A的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n-r。

利用此結論可解決下面的問題：①若n元齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解，則R(A)=R(BB)；②進一步，可得到R(ATA)=R(A)，因為這時只需要證明齊次線性方程組ATAx=0與Ax=0同解即可；③再進一步可得到矩陣A=O的充分必要條件ATA=O

綜合地進行一題多用的教學，可使學生對所學知識縱向加深，橫向溝通，誘導學生對某一問題深入研究，持續思考，整合已學知識，拓展其內蘊，有利于培養學生思維的連續性。

3 一題多變，培養學生思維的靈活性

例3設n階行列式D=det(aij)，把D上下翻轉，得到：

通過一題多變的教學，可使學生對所學知識靈活變通，積極思索，激發學生的學習熱情，對問題的本質認識、理解得更深刻，有利于培養學生思維的靈活性[3]。

4 結 語

例習題教學的多樣化，可喚起學生的求知欲望，激發學生探究知識的興趣，使學生掌握“由已知到求知，從現象到本質”的認識世界的根本方法，使之思維方式多元化，從而達到提高解決實際問題的能力。

[1]同濟大學教學系. 線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 王秀珍. 《線性代數》習題課教學與改革的初步探討[J]. 課程教育研究(新教師教學)，2012(16)：136.

[3] 高梅. 淺談《線性代數》習題課的教與學[J]. 科技信息2010(2)：134.

2013-07-23

成庭榮(1962-),男，副教授，現主要從事基礎數學方面的教學與研究工作。

N4

A

1673-1409(2013)28-0135-02

[編輯] 洪云飛