一道課本習(xí)題的“意外”收獲

●袁海軍

(廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 福建廈門 363105)

一道課本習(xí)題的“意外”收獲

●袁海軍

(廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 福建廈門 363105)

前不久，筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)組開展教研活動(dòng)，聽了一節(jié)高一數(shù)學(xué)公開課，課題是“直線與圓的方程的應(yīng)用——坐標(biāo)法”.在短短45分鐘里，筆者經(jīng)歷了課堂教學(xué)由流暢→滿意→實(shí)戰(zhàn)困惑→尋求破解的過程.在課堂最后12分鐘的學(xué)生板演練習(xí)環(huán)節(jié)中,教師請(qǐng)2位學(xué)生上臺(tái)現(xiàn)場(chǎng)板演課本上的一道練習(xí)題，結(jié)果暴露出課堂教學(xué)的預(yù)期與現(xiàn)實(shí)的反差如此之大，引發(fā)了筆者一些思考.

(人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》133頁(yè)第8題)

教師提示運(yùn)用坐標(biāo)法，學(xué)生獨(dú)立思考解決習(xí)題，教師來回巡視檢查學(xué)生答題.

學(xué)生甲：上臺(tái)閱讀題意，作出圖1，然后按照?qǐng)D1建立直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)單寫出點(diǎn)A,B,C,O的坐標(biāo)，并思考一會(huì)兒寫出圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程后，面對(duì)許多點(diǎn)的坐標(biāo)未知，感覺一片茫然，就沒有了下文.

圖1 圖2

時(shí)間過得很快，講課教師神情有點(diǎn)焦急、失望，不斷地提示：“你們能不能換個(gè)角度建立直角坐標(biāo)系呢？”下面馬上就有學(xué)生說坐標(biāo)系原點(diǎn)就是點(diǎn)O，而BC為x軸，但臺(tái)上的2個(gè)學(xué)生更加糊涂了，也更慌亂了，嘀咕道：“我已利用圖形上現(xiàn)成的直角建系，怎么不行？”大家就這樣靜靜地等待，可驚喜的結(jié)果還是沒有出現(xiàn)，離下課僅剩3分鐘了，講課教師快速地給出如下解答：

證法1如圖2，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線PQ為x軸，PQ的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系,可得：

|AP|2+ |AQ|2+|PQ|2=

(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2=

2(x2+y2+n2)+4n2=

由于時(shí)間很倉(cāng)促，教師沒有對(duì)2個(gè)學(xué)生的解法和自己為何如此建系求解作出評(píng)價(jià)，也沒有較好的課堂小結(jié)，有點(diǎn)遺憾.值得肯定的是：這是一節(jié)非常真實(shí)的常規(guī)課教學(xué)，它沒有讓學(xué)生課前預(yù)先演練一遍，以換取“流暢、完美”的教學(xué)表象.執(zhí)教者是研究生畢業(yè)的青年教師，思維活躍，工作熱情飽滿，只是當(dāng)課堂出現(xiàn)尷尬局面時(shí)缺乏應(yīng)對(duì)經(jīng)驗(yàn)，或許是準(zhǔn)備不足.那么如何化解呢？首先要吃透教材，了解學(xué)生，合理評(píng)估學(xué)生的知識(shí)水平.其次是備課時(shí)要精心設(shè)計(jì)，選取例題要有針對(duì)性，貼近學(xué)生的思維層次，盡可能多角度入手，有較好的延伸，最好教師要預(yù)先演練，難度適中.課堂板演要有利于鞏固所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)點(diǎn)評(píng),同時(shí)盡可能地激發(fā)學(xué)生的解題興趣，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的成就感，熱愛學(xué)習(xí).

筆者在下面聽課，當(dāng)即順著2個(gè)學(xué)生解題思路，在聽課本上繼續(xù)做下去：

聯(lián)立方程消去y得

即

(x1+x2)2-2x1x2+(y1+y2)2-2y1y2+4n2=

自我體驗(yàn)：感覺按照此方法解答,運(yùn)算的確過于復(fù)雜，要求出的量偏多.但如果依舊按照該學(xué)生建系的方法，是否還有其他更簡(jiǎn)潔的解法呢？細(xì)細(xì)思考片刻，作出如下解答：

|AQ|2= (c-x)2+(b-y)2=

c2+b2-2cx-2by+x2+y2;

(2)

|PQ|2= (c-2x)2+(b-2y)2=

c2+b2-4cx-4by+4x2+4y2=4n2.

(3)

又因?yàn)?/p>

(4)

聯(lián)立式(1),(2),(3),(4),可得

證法2和證法3對(duì)比總結(jié)：學(xué)生的建系思路是正確的，只要大膽地設(shè)變量，找出變量間的關(guān)系式，通過整體代換，采取“設(shè)而不求”，可大大降低運(yùn)算量，最終一樣可以得出正確答案.但如果在限時(shí)解題中碰到困惑是迎難而上呢，還是迅速轉(zhuǎn)換思路呢？值得商榷.

針對(duì)此題進(jìn)一步探究解法，若不建立直角坐標(biāo)系是否還有更快捷的方法呢？細(xì)細(xì)觀察即可構(gòu)造平行四邊形或利用向量法解決,更為簡(jiǎn)潔明了.

圖3

證法4向量法(平行四邊形法則)

由圖3可得

從而

(5)

(6)

當(dāng)天，筆者在所任教的2個(gè)班級(jí)布置此題做為作業(yè)，特別補(bǔ)充希望學(xué)生用多種方法求解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生按照證法1和證法2完成.可能是學(xué)生課后時(shí)間充足、心態(tài)放松，還可相互交流討論，答題效果整體較好.只是部分學(xué)生書寫不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，甚至計(jì)算出錯(cuò).第2天上課筆者花費(fèi)15分鐘時(shí)間采用逐步引導(dǎo)的方法進(jìn)行上述講解，收效甚好.

通過此次聽課、評(píng)課、自我反思，收獲頗多，談幾點(diǎn)感言：授課是服務(wù)于學(xué)生的認(rèn)知，應(yīng)盡可能站在更高的視角來審視平時(shí)的教學(xué).教學(xué)是有方法的，充滿智慧的，不在于教師多講、少講，而在于學(xué)生課堂是否真正參與，學(xué)生的思維是否得到啟發(fā)和激活，對(duì)所學(xué)知識(shí)是否有效地理解，更重要的是放手給學(xué)生自我實(shí)踐，敢于找出自身的短板，尋求突破.倡導(dǎo)在教學(xué)實(shí)踐中滲入數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)人文價(jià)值觀，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)美感和數(shù)學(xué)興趣.

溫馨提示：人教A版教師配套用書提供的參考答案數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，盼能及時(shí)修正.