直線上動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)距離差的取值范圍問題

●張福儉

(揚(yáng)州中學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225009)

直線上動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)距離差的取值范圍問題

●張福儉

(揚(yáng)州中學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225009)

蘇教版《數(shù)學(xué)(必修2)》第2章復(fù)習(xí)題第21題：已知點(diǎn)M(1,3),N(5,-2)，在x軸上取一點(diǎn)P，使|PM-PN|最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解作點(diǎn)N關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N′(5,2),點(diǎn)P在x軸上，則

|PM-PN|=|PM-PN′|≤MN′,

x+4y-13=0.

將y=0代入，得x=13，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(13,0).

以上類型習(xí)題在教材和教學(xué)參考書中多次出現(xiàn)，每次都只考慮直線上動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)距離差的絕對(duì)值的最大值，為何不考慮最小值？又從解法可知直線MN′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，如果直線MN′與x軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)有沒有最大值？這引起了筆者的一系列思考：對(duì)任意給定的2個(gè)點(diǎn)有沒有最小值？有沒有最大值？去掉絕對(duì)值，有沒有最大值和最小值？

上面的3個(gè)問題，歸根結(jié)底是能否求出直線上動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)距離差的取值范圍.筆者經(jīng)過研究，得到了以下結(jié)論：

定理已知直線l和同側(cè)的2個(gè)點(diǎn)A,B(包括點(diǎn)A,B在直線l上的情況)，設(shè)點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A,B的距離為d，直線AB與直線l夾角為θ，則

(2)當(dāng)θ=0時(shí)，若點(diǎn)A,B不在直線l上，則PA-PB的取值范圍是(-d,d)；若點(diǎn)A,B在直線l上，則PA-PB的取值范圍是[-d,d].

圖1

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,0),其中x1≥x2≥0，y1>y2≥0，則

當(dāng)x≤0時(shí)，x1-x≥0,x2-x≥0，從而

因?yàn)辄c(diǎn)A,B,O共線,所以x1y2=x2y1≥0.又因?yàn)?xy1≥-xy2≥0,所以f′(x)≥0,因此f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù).

當(dāng)0≤x≤x2時(shí)，x1-x≥0，x2-x≥0,從而

因?yàn)閤1y2=x2y1且-xy1≤-xy2,所以0≤x2y1-xy1≤x1y2-xy2,即f′(x)≤0,因此f(x)在[0,x2]上是減函數(shù).

當(dāng)x2≤x≤x1時(shí)，x-x1≤0,x-x2≥0，從而

從而f(x)在[x2,x1]上是減函數(shù).

當(dāng)x≥x1≥0時(shí)，x-x1≥0，x-x2≥0,從而

因?yàn)閤1y2=x2y1且xy2≤xy1,所以0≤xy2-x1y2≤xy1-x2y1,即f′(x)≤0,因此f(x)在[x2,+∞)上是減函數(shù).

綜上可知，f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù)，在[0,+∞)上是減函數(shù)，f(x)max=f(0)=d.

圖2 圖3

(2)當(dāng)θ=0時(shí)，若點(diǎn)A,B不在直線l上，以直線l所在直線為x軸、線段AB的中垂線為y軸建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)A(x1,y1)，B(-x1,y1)，P(x,0),其中x1>0，y1>0，則

當(dāng)x≤-x1<0時(shí)，x-x1

因此f(x)在(-∞,-x1]上是減函數(shù).

當(dāng)-x1≤x≤x1時(shí)，x-x1≤0，x+x1≥0,從而f′(x)≤0,因此f(x)在[-x1,x1]上是減函數(shù).

當(dāng)x≥x1>0時(shí)，x+x1>x-x1≥0,從而

因此f(x)在[x1，+∞)上是減函數(shù).

綜上可知，f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).

圖4

當(dāng)x→-∞時(shí)，同上可得f(x)→CD=d.

因此，當(dāng)θ=0時(shí)，若點(diǎn)A,B不在直線l上，則PA-PB的取值范圍是(-d,d).顯然，當(dāng)θ=0時(shí)，若點(diǎn)A,B在直線l上，則PA-PB的取值范圍是[-d,d].

如果點(diǎn)A,B位于直線l的異側(cè)，設(shè)點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對(duì)稱，則PA-PB=0，即PA-PB的取值范圍是{0}；若點(diǎn)A,B不關(guān)于直線l對(duì)稱，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′,則PA-PB=PA-PB′，而點(diǎn)A,B′位于直線l的同側(cè)，運(yùn)用上面的定理，可得PA-PB的取值范圍.

至此，直線上動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)距離差的取值范圍問題已經(jīng)解決，直線上動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)距離差的絕對(duì)值是否有最小值(或最大值)、有最小值(或最大值)時(shí)如何求也已經(jīng)解決.

[1] 單墫．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)·必修2)[M].南京：江蘇教育出版社,2011：115.