從求和問題看如何開設拓展課

●楊思源 ●錢玉萍 王莉芳

(嘉定區第一中學 上海 201808) (嘉定外國語實驗高中 上海 201800)

從求和問題看如何開設拓展課

●楊思源 ●錢玉萍 王莉芳

(嘉定區第一中學 上海 201808) (嘉定外國語實驗高中 上海 201800)

從現代認知心理學關于知識的分類學說來看，數學教學的本質就是在數學知識的教學中，把大量的數學概念、定理、公式等陳述性的知識，運用精致、組織、復述、編碼的方法，讓學生在主動參與、積極建構的基礎上，形成越來越復雜和越來越有層級的知識網絡結構，使學生體驗整個學習過程中所蘊含的數學思想、數學方法，形成解決問題的產生式，并將數學陳述性知識轉變為能力程序性知識，從而生成能數學地提出問題、分析問題、解決問題的能力.

數學是鍛煉思維的體操，問題是數學的心臟.以問題驅動為載體，以培養數學理性思維能力為主線，立足基礎知識，建構知識網絡，把握縱橫聯系，強化重點內容，揭示普遍規律，注重綜合運用，關注思維過程，強化理性思維，關注一題多解、一題多思、一題多變、一題多問、多題一解.對課本中重要的章節核心知識點歸類穿線,形成知識鏈,建構系統化的知識網絡結構體系,特別是對那些經過千錘百煉的典型例題、習題或數學問題的條件所提供信息的剖析、收集、挖掘、拓展、整理，對千變萬化的解題思路的探索，以及其中蘊含規律的總結，對問題結論產生的來龍去脈的揭示，對具有強大統攝性的數學思想方法的提煉，對整個思維過程與思維結果的深化、拓展、反思、探索.通過學生主體的體驗、調控、總結,使經驗上升為理論,并反過來指導實踐，無疑有助于學生個性化品質、創新精神與實踐能力的培養.

如何上好拓展課?以數學問題驅動為載體，拓展課本例題，發展學生的思維能力，注重探索、實踐、拓展、創新，培養學生數學地提出問題、分析問題與解決問題的能力，無疑是一條很好的思路，自然也為我們進行探究性教學、促進教師專業發展提供一種有益的嘗試.

1 從一道與求和問題相關的恒等式證明題談起

滬教版高二數學第7章第2單元在“數學歸納法的應用”習題中有這樣一道題目：

題目運用數學歸納法證明：

1·2+2·3+ 3·4+…+n(n+1)=

數學歸納法的本質是“遞歸推理原理”.對于與自然數n相關的命題P(n),當學生學習了數學歸納法的2個步驟：第1步,通過具體的驗證如n=1時命題成立，即P(1)真，得到遞推的基礎;第2步,在假設當n=k時，命題P(k)成立的前提下，論證當n=k+1時,命題P(k+1)也成立，即以一次性的演繹論證代替無窮次的逐一驗證，可知命題對從第一個開始驗證的所有自然數都成立.一般來說，大多數學生都能比較順利地運用數學歸納法證明這個恒等式.

當順利完成了運用數學歸納法證明這個恒等式后，筆者提醒能否不用數學歸納法，而用其他方法取代呢？經過適當地探究，結論是肯定的.

事實上有一位學生是這樣用數學歸納法來證明的.

從而f(1)=g(1)，命題成立.

假設當n=k時，f(k)=g(k)成立，則當n=k+1時，有

f(k+1)=

1·2+2·3+…+k(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=

f(k)+(k+1)(k+2),

(1)

g(k)+(k+1)(k+2),

(2)

由歸納假設知，f(k)=g(k)，從而

f(k+1)=g(k+1).

由此可知等式對任意n∈N*恒成立.

注意到上述證法中，由式(1)可得

f(k+1)-f(k)=(k+1)(k+2),

由式(2)可得

g(k+1)-g(k)=(k+1)(k+2),

于是我們可猜想，由

f(1)=g(1),f(n)-f(n-1)=g(n)-g(n-1),

就可以直接推出命題對任意自然數n都成立的結論.因此有以下定理:

定理1設f(n)和g(n)都是定義在自然數集上的函數,若滿足下列條件:

(1)f(a)=g(a);

(2)f(n)-f(n-1)=g(n)-g(n-1),

則等式f(n)=g(n)對一切自然數n≥a都成立.

證明將f(n),g(n)分別寫成：

f(n)=f(a)+f(a+1)-f(a)+f(a+2)-f(a+1)+

…+f(n)-f(n-1)=

(3)

g(n)=g(a)+g(a+1)-g(a)+g(a+2)-

g(a+1)+…+g(n)-g(n-1)=

(4)

由此可得，若滿足定理的條件式(3),(4)的右邊相等，則左邊也相等.因此f(n)=g(n)對于一切自然數n≥a成立.

證法2運用定理1,令

f(n)=1·2+2·3+…+n(n+1),

則

f(1)=2=g(1)，

f(n)-f(n-1)=n(n+1),

n(n+1),

從而

f(n)=g(n).

除此之外，還有哪些方法呢？大部分學生都把視角轉向求和,即把等式左邊看成數列的前n項求和，運用求和的方法來證明.

2 一題多解，多向發散，自主探究，合作交流

求和：Sn=1·2+2·3+3·4+…+n(n+1).

經過學生自主探索后，獲得如下方法：

從而猜測

于是

然后利用數學歸納法證明.

證法4若利用前n個自然數平方和的公式，則可化為

Sn= (1+2+…+n)+(12+22+…+n2)=

證法5待定系數法.因為an是n的二次多項式，所以Sn是n的三次多項式.設Sn=b0n3+b1n2+b2n(因為an=n(n+1)缺常數項，所以Sn也缺常數項).由S1=2,S2=8,S3=20,得

證法6拆項求和法.因為

所以

證法7應用an=Sn-Sn-1(n≥2).因為

又

故

證法8利用排列數性質

即 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=

方法9利用朱世杰恒等式

證法10錯位相減法.令

Tn=1·2·3+ 2·3·4+3·4·5+…+

n(n+1)(n+2),

Tn= 1·2·3+2·3·4+3·4·5+

…+n(n+1)(n+2),

兩式錯位相減，得：

0=1·2·3+3·2·3+3·3·4+…+3·n(n+1)-n(n+1)(n+2),

從而

3 居高臨下，深入淺出，高屋建瓴，水到渠成

3.1 阿貝爾變換法

對于積數列求和：

使用阿貝爾變換往往能起到化簡的作用.現介紹阿貝爾變換:設

b1=β1,b2=β1+β2,…,bn=β1+β2+…+βn,

(5)

則

β1=b1,β2=b2-b1,…,βn=bn-bn-1,

α1b1+α2(b2-b1)+…+αn(bn-bn-1)=

(α1-α2)b1+(α2-α3)b2+…+(αn-1-

αn)bn-1+αnbn=

(6)

式(5)與式(6)稱為阿貝爾變換.式中αk,βk是對稱的,因此，適當地選取αk,βk(k=1,2,…,n)可使積數列求和問題得到簡化.

于是

3.2 母函數法

證法12首先求出數列{an}={0,1·2,2·3,…,n(n+1),…}的母函數.因為

對上式兩端進行求導,得

(n-1)tn+…,

再求導，可得

n(n+1)tn-1+…

由此可知上述函數是數列{1·2,2·3,3·4,…,n(n+1),…}的母函數.其次，由

2·3+3·4)t2+…,

知上述函數為數列

{1·2,1·2+2·3,1·2+2·3+3·4,…,1·2+2·3+…+n(n+1),…}的母函數.

上述證法1～證法10完全由學生通過自主探求得到,證法11和證法12則由教師介紹給學生，這對教師的專業素質訓練有良好的促進作用.

特別地,如果教師從高等數學的視角來研究初等數學,常常能居高臨下,深入淺出地處理問題.總而言之,立足基礎知識、基本技能和基本方法,編織知識網絡,把握縱橫聯系,提煉數學思想,在數學地提出問題、分析問題、解決問題中學會數學學習,有益于拓展思路，擴展視野，發展學生探究能力和數學思維能力.

[1] 史濟懷.母函數[M].上海：上海教育出版社，1980：17-18.

[2] 徐會方,董振平,崔耀文,等.怎樣尋求P(k+1)的證明[M].鄭州：河南教育出版社，1990：103-105.

[3] 明知白.數列求和[M].北京：北京師范大學出版社,1985：132-133.