反射三角形探究——對一道九年級數學期末抽測題的探究

●

(溫嶺中學實驗學校 浙江溫嶺 317500)

反射三角形探究——對一道九年級數學期末抽測題的探究

●朱軍輝陳貞輝

(溫嶺中學實驗學校 浙江溫嶺 317500)

浙江省溫嶺市2012學年第一學期期末數學質量抽測九年級的第21題引起了很多教師的關注.筆者對此題也作了一些思考，現將想法呈現如下，以和同行共同商討．

1 試題再現

題目如圖1，點D,E,F分別在△ABC的邊AB,BC,CA上，若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，則稱△DEF為△ABC的反射三角形．

圖1 圖2 圖3

(1)如圖2，等邊△ABC的3條邊的中點分別是D,E,F，請判斷△DEF是不是△ABC的反射三角形？答：________(填寫“是”或“不是”).

(2)如圖3，點A,B,C分別在△DEF的3條邊上，I是△DEF內一點，且IA⊥DF，IB⊥DE，IC⊥EF，依次聯結點A，B，C.若⊙I是△ABC的內切圓,求證：△ABC是△DEF的反射三角形.

(3)判斷下列3個命題是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)：

命題1 銳角三角形有反射三角形.

( )

命題2 銳角三角形的反射三角形是銳角三角形.

( )

命題3 鈍角三角形沒有反射三角形.

( )

2 試題探究

2．1 命題意圖

2．1．1 考查試題類型

從近幾年的臺州市數學中考試卷以及全國其他省市的數學中考試卷看，出現了較多的新概念型(新學習型)試題．所謂“新概念型問題”，是指問題中的概念、運算、符號等，是學生在初中數學中沒有學過的，要求學生通過自主閱讀、自主操作等方式進行即時學習，然后結合已有知識、能力進行運算、推理、遷移的一種題型．總之，這類題目對數學感知、數學表征、數學抽象概括、數學推理計算等數學認知水平進行了全面的考查．

2．1．2 考查知識內容

本題主要考查的知識內容有：三角形的內角和定理、角平分線的意義、三角形內心的性質、垂線的性質、三角形中位線的性質等．此題屬于稍難題，難度系數為0.5～0.8．

2．1．3 考查基本圖形

基本圖形來源于人教版九年級上冊《數學作業本2》第25頁“直線與圓的位置關系(三)”的第2題．

2．1．4 考查數學方法

轉化方法、類比猜想等．

2．2 試題解答

由反射三角形的定義,知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.因為

∠1+∠3+∠A=180°，∠2+∠5+∠C=180°，

∠4+∠6+∠B=180°，∠A+∠B+∠C=180°，

所以 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，

∠1+∠3+∠5=180°，

從而

∠A=∠5=∠6，

同理可得 ∠1=∠2=∠B，∠3=∠4=∠C，

故

同理可得

2．3 試題拓展

2．3．1 反射三角形的形狀

0°<∠A<90°，0°<∠B<90°，0°<∠C<90°,

故△ABC是銳角三角形.即只有銳角三角形才有反射三角形，直角三角形與鈍角三角形都沒有反射三角形．因此,得到如下一些結論：

(1)當銳角△ABC是等腰三角形時，反射△DEF是等腰三角形；

(2)當銳角△ABC中有一個角等于45°時，反射△DEF是直角三角形；

(3)當銳角△ABC中每一個角都大于45°且小于90°時，反射△DEF是銳角三角形；

(4)當銳角△ABC中有一個角小于45°時，反射△DEF是鈍角三角形．

2．3．2 反射三角形的畫法探究

探究1為了讓學生能探究出一個銳角三角形的反射三角形的畫法，結合圖1教師可事先鋪設2個問題進行探究：(1)求證：△ADF∽△ACB；(2)在銳角△ABC中，已知AB=4，BC=6，AC=5，你能求出線段AF的長嗎？

事實上，根據試題解答的探究過程，得∠1=∠B，又因為∠A=∠A,所以

△ADF∽△ACB，

從而

即AD·AB=AF·AC,

(1)

同理可得BD·BA=BE·BC,

(2)

CE·CB=CF·CA.

(3)

式(1)+式(2)，得

AB2=AF·AC+BE·BC,

(4)

由式(3)，得

CB2-BE·BC=AC2-AF·AC,

從而AC2-CB2=AF·AC-BE·BC.

(5)

式(4)+式(5)，得

AB2+AC2-CB2=2AF·AC.

將AB=4，BC=6，AC=5代入,即得AF=0.5．這僅說明了點F是AC邊上的一個定點，那么點F是怎樣的一個特殊點呢？由余弦定理得

AB2+AC2-CB2=2AB·AC·cosA，

從而AF=AB·cosA.聯想銳角三角函數的定義，學生會想到過點B作BG⊥AC于點G，則AG=AB·cosA，從而可得點F與點G重合，進而可得反射三角形的3個頂點D,E,F應是銳角三角形的3條高的3個垂足，這樣就得到了一個銳角三角形的反射三角形的畫法．

以上是教師探究時的思維過程，但由于涉及到余弦定理，在初中范圍內屬于超綱內容，那么有沒有不超綱的其他方法能證明點D,E,F是銳角△ABC中3條高的垂足呢？

探究2在圖4中，同樣根據試題解答的探究過程,得∠1=∠ABC.因為

∠DAF=∠CAB，

所以

△ADF∽△ACB，

從而

聯結BF,CD，則△ACD∽△ABE，從而

∠ACD=∠ABF.

再聯結AE，同理可得

∠BAE=∠BCD，∠CBF=∠CAE.

為表述方便，不妨記∠ACD=∠ABF=x，∠BAE=∠BCD=y，∠CBF=∠CAE=z，根據△ABC的內角和等于180°,知

2x+2y+2z=180°，

即

x+y+z=90°，

從而AE⊥BC，BF⊥AC，CD⊥AB.這樣就得到了反射三角形的3個頂點D，E，F是銳角△ABC中3條高的3個垂足．

圖4 圖5

探究3考慮學生平時所積累的基本知識和經驗，在試題講評時，可按如下的問題串對學生鋪設思維臺階進行畫法探究，以達到學生對數學感知能力的要求．

如圖5，已知BF⊥AC于點F，CD⊥AB于點D．

(1)求證：AD·AB=AF·AC；

(2)聯結DF，BC，求證：∠ADF=∠ACB，∠AFD=∠ABC；

(3)設CD與BF交于點I，聯結AI并延長AI交BC于點E，則AE與BC有何位置關系？再聯結ED,EF，由第(1)小題與第(2)小題你可以得出哪些結論？

結合以上的畫法探究，可進一步解答以下問題：

如圖6，已知CD,AF,BE分別是鈍角△ABC的3條高，∠ACB是鈍角，聯結DE,EF,FD，求證：點C是△DEF的內心．

圖6 圖7

2．3．3 反射三角形的周長探究

點D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA上的動點，如圖3，不妨稱△DEF為△ABC的滑動三角形.如果∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，則稱△DEF為△ABC的反射三角形，同時稱點D，E，F分別為AB,BC,AC邊上的反射點，則△ABC的所有滑動三角形中反射三角形的周長最小且為定值．

事實上，如圖7，設△DEF是△ABC的任意一個滑動三角形，作點F關于直線AB的對稱點F1，聯結EF1交AB于點D1，聯結D1F,DF,DF1，則DF=DF1，D1F=D1F1，D1是AB邊上的反射點，此時△DEF的周長大于△D1EF的周長.因此，當點D,E,F分別為AB,BC,AC邊上的反射點時，△DEF是△ABC的一個反射三角形且其周長是△ABC所有滑動三角形中周長最小的一個，△DEF的周長為BC·cosA+AC·cosB+AB·cosC(定值)．

3 教學思考

3．1 試卷講評

一堂試卷講評課不能以試卷上試題評價的終結而結束．教師除了要求學生做好試題的訂正、錯題原因的分析外，還要針對學生在考試中暴露出來的有代表性的共性問題，精心設計一些相應的逆思路題或變式題讓學生再練習、再提高．同時對試題中出現的有些題目可進行深層次的挖掘和開發，共同探討命題者的思路、可能變化的方向，讓學生心中有數．

3．2 教師解題

作為一名數學教師，在平時的教學過程中離不開解題，但更重要的是要做好解題研究，熟悉各種基本常規題型和各種解題策略、方法．教師通過解題，才能融合各種資源，才能夠在教學過程中做到精選習題和例題，才能夠在分析試題時精心設計好為學生解決難題的腳手架，才能夠讓學生跳一跳能摘到果子，體驗成功的樂趣．

3．3 課本作業本資源

從中考數學試題的導向功能來看，命題者都會對區域內所使用的教材和作業給予高度關注:試題中的基礎類題目，很多都是課本上的例題、習題經過適當的變化而來的；一些中、低難度的綜合解答題也是教材中的例題、習題經過交匯、融合而成；即使有些壓軸題也不例外．例如，2012年臺州市中考數學卷的第23題就是改編于教材中的習題；第24題以“距離”這一幾何概念為出發點，引進了2條線段之間距離這一新概念，同時這一概念與兩點之間的距離、點到直線的距離、2條平行線之間的距離等概念交匯融合，使原本單薄的數學概念變得厚重、充實．因此，在數學課堂教學特別是在中考復習中，用好課本資源，深化課本資源，有效地對例習題進行改編等是提高課堂效率的重要保證．只有教師自身真正觸及數學問題的本質，才能引領學生深入理解問題；只有教師自己登高望遠，才能使學生在浩瀚的題海中，舉重若輕，才能“會當凌絕頂，一覽眾山小”．

[1] 吳增生．堅持標準 關注本質 引領教學[J]．中學教研(數學)，2013(1)：45-47.

[2] 許雷波．對數學教師解題研究的思考[J]．中學數學研究，2013(2)：6-8.

[3] 姜克安．深化課本資源 提高課堂效率[J]．上海中學數學，2013(1/2)：66-68.