競賽中的向量與向量方法

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(昌碩高級中學 浙江安吉 313300)

競賽中的向量與向量方法

●黃超

(昌碩高級中學 浙江安吉 313300)

平面向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景.在高考和數學競賽中，平面向量也是一種重要的命題載體和解題思想，因為它集數形于一身，是溝通代數與幾何的天然橋梁，并能有效地結合坐標系解題.由于向量的可平移性，使得向量成為較廣泛的解題工具之一.從某種意義上說，向量不僅能實現用代數方法解決幾何問題，給代數問題予以幾何的解釋，而且向量性質的巧妙運用可以讓解題閃耀出智慧的光芒.以下從問題解決的角度對部分以平面向量為背景的問題(包含高考和競賽試題)予以簡要解讀.

1 不等關系向量建

由m·n=|m||n|cos，得|m·n|≤|m||n|(或(m·n)2≤m2·n2)，當且僅當m,n共線時等號成立.令m=(a,b),n=(c,d)，則由(m·n)2≤m2·n2得

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),

當且僅當ad=bc時等號成立，此不等式即為二維柯西不等式.若令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn),則

(2003年全國高中數學聯賽試題)

(1)

(1999年全國高中數學聯賽試題)

從而

點評這些問題的結構和向量并沒有直接的關聯，但向量的數量積與模之積之間的不等關系卻使問題迎刃而解，并顯得簡捷有力，是構造向量解決不等關系的典型問題.換言之，柯西不等式可以算是向量不等式的一種直觀表達方式,但向量的構造需要一定的觀察力和洞察力.

2 方程求解亦向量

通過構造向量并建立關系式，可以將方程問題轉化為向量問題，借助向量運算尤其是數量積運算，可以快捷求解方程.

從而

當且僅當x2=1時等號成立.由題意，|m||n|≤m·n,又|m||n|≥m·n，即|m||n|=m·n,故x=1或x=-1(舍去)，即方程的解為x=1.

例4已知正數x,y,z滿足方程組

求xy+2yz+3zx的值.

解式(3)+式(4)-式(2),得

2z2+zx-xy=0.

m2=9，n2=16，m·p=0,n·p=0,

故m⊥p,n⊥p，于是m∥n，因此

(m·n)2=|m|2|n|2=9×16.

點評能將方程結構和向量結構聯系起來并進行合理轉化是解決此類問題的關鍵，這些構造看似巧妙，但還是有規律可循的.

3 共線破解線性題

圖1

圖2 圖3 圖4

4 投影秒殺數量積

m·n=|m||n|cos,稱|n|cos為n在m方向上的投影，即數量積m·n的幾何意義為|m|與n在m方向上的投影的乘積.利用此幾何意義可以快捷地解決某些數量積問題.

顯然|QB|2=(1+k2)(x+1)2,因此

點評善用投影，很多數量積問題可成為能夠“秒殺”的問題，在解題和增強學生的學習興趣上都有較大的作用.

5 基本定理回路靈

平面向量基本定理：如果e1,e2是一個平面內2個不共線的向量，那么對這個平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共線的向量e1,e2叫做這個平面的所有向量的一組基底.換言之，若a=λ1e1+λ2e2=k1e1+k2e2,則必有λ1=k1,λ2=k2，此為向量法解題的基本工具.幾個向量首尾銜接構成一個圈，即它們的和為零向量.在解題過程中利用這個等式或與它等價的等式，就是回路法，適當地選擇回路，是向量解題的基本手法.

圖5

例9如圖5，已知點P為平行四邊形ABCD所在平面上一點，O為AC和BD的交點，M和N分別是PB和PC的中點，Q為AN和DM的交點，求證：

(1)點P,Q,O共線； (2)PQ=2QO.

(1998年全國高中數學聯賽試題)

證明(1)聯結MN.由三角形中位線定理，知MNBC.因為ABCD是平行四邊形，所以ADBC，從而AD∥MN，于是△AQD∽△MQN，即==2.

而點P，Q，O分別在△BDM的BM，DM，BD所在的直線上.由梅內勞斯定理的逆定理，得點P,Q,O共線.

例10已知在△ABC中，O,H分別是外心、垂心，R為其外接圓半徑，試將AB2+BC2+CA2+OH2寫成關于R的函數.

點評基本定理和回路法是向量最本質屬性的體現，恰當的運用基本定理和選擇回路可最大限度地減少思維量和運算量.

6 幾何意義妙在圖

向量兼具幾何特征和代數表示，是溝通代數和幾何的橋梁.而對向量問題幾何背景的挖掘往往會使問題解決顯得奇妙無比.

例11已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e) C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

例12已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1,且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______．

即

從而

則點B在以線段OA為弦、半徑為R的圓上，從而

平面向量集代數、幾何、三角于一身，有回路法、幾何法、坐標法等各種方法，還可聯系不等式、方程等諸多內容，使其成為高中數學中的一朵奇葩.