一道自主招生試題的“前世后生”

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(余姚市實驗學校 浙江余姚 315400)

一道自主招生試題的“前世后生”

●陳萬勇應立君

(余姚市實驗學校 浙江余姚 315400)

隨著全國高校自主招生的規模越來越大，引發各地高中的自主招生熱，一批學有余力的資優生有了極佳的展示平臺，而重點高中也多了一條發現人才的重要途徑．從已有的自主招生數學試題分析可知，試題大多來源于競賽題，或直接引用，或稍加改編，推陳出新．研究經典的競賽試題，無異于挖掘了自主招生試題的源頭，真可謂是事半功倍．下面是對2009年浙江省某重點高中自主招生試卷壓軸題的“前世”挖掘與“后生”展望，以期拋磚引玉，對數學資優生的自主探究、輔導教師的有效指導及自主招生試卷的創新命題等有所借鑒．

1 試題的“前世”

例1如圖1，四邊形ABCD內接于圓，AB=AD，且其對角線交于點E，點F在線段AC上，使得∠BFC=∠BAD=2∠DFC．

(1)求∠CDF的大小；

圖1圖2圖3

分析此題實際應試時得分很低．時間緊張、精確作圖困難是主要原因．好不容易猜想出正確結論，但推理過程又成了障礙．

此題蘊含著豐富的數學知識與思想方法：等腰三角形、靈活轉化的圓周角、相似三角形、三角形的角平分線性質、演繹與歸納推理等，具有極高的研究價值．

解(1)如圖2，過點A作AM⊥BD于點M，則

因為∠ABD=∠ACD，所以

∠CDF=∠AMB=90°．

(2)如圖3，過點F作FN⊥BC于點N．先證△FCN≌△FCD，得CN=CD；再證FB=FC，得BN=CN．因為CE是△BCD的角平分線，所以

此題綜合性強，解法巧妙，且解法眾多(讀者可再作探究)，不失為一道好題，但感覺似曾相似．經查閱知，其來源于2008年青少年數學國際城市邀請賽中的一道試題：

自主招生題增加了第(1)小題的設置，有暗示解法之意，降低了難度.再追溯，此題可以認為脫胎于1992年全國初中數學聯賽中的一道解答題：

例3如圖4，在△ABC中，AB=AC，D是底邊BC上的一點，E是線段AD上的一點，且∠BED=2∠CED=∠BAC．求證：BD=2CD．

圖4 圖5

給圖4披上圓的外套(如圖5)，延長AD交△ABC的外接圓于點F，聯結BF，CF，則與例1、例2無異了．這是一種解法，例3還有很多解法，下面擇取幾種以饗讀者：

證明先證明BE=2AE．如圖6，在BE上截取BF=AE，聯結AF，易證△ABF≌△CAE，得∠AFB=∠CEA，則

于是AE=EF，從而BE=2AE．

圖6 圖7 圖8

方法1如圖7，過點C作CM∥BE交AD延長線于點M，在AD上截取AN=BE，聯結CN．

先證△ABE≌△CAN，得

CN=AE，∠CND=∠BED，

方法2如圖8，過點D作DF∥AB交AC于點F，易知FC=FD．

方法3如圖4，在△ABE中，由正弦定理，得

從而

故

BD=2CD．

以上解法都用到了2個幾何事實：∠ABE=∠CAD，BE=2AE，較之題干中的陳述條件更加有利于應用．

2 試題的“后生”

經過上述剖析，相信讀者對蘊藏于這道試題之中的幾何知識與思想方法已經相當地了解，那么以后的試題可以進行怎樣的發展演變呢？筆者進行了如下的初步嘗試：

2.1 互換條件與結論

如圖4，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，BD=2CD，且∠ABE=∠CAD． 求證：∠BED=2∠CED．

2.2 增加條件，使圖形特殊化

已知在△ABC中，AB=AC=1，D是BC上一點，E是線段AD上一點，且∠BAC=∠BED=2∠DEC．

(1)當∠BAC=90°時(如圖9)，求BD的長；

(2)當∠BAC=60°時(如圖10)，求△CDE的面積．

圖9 圖10

(解答留給讀者.)

解題是數學學習的重要途徑，需要我們全身心地投入其中，慢慢地品嘗，體會各種美妙；認真細致地解剖，不同方向、角度地觀察，創造性地鏈接嘗試，以及解題成功以后的回望，不斷促使解法完善，解答簡化合理，發現多解，提煉通解，自擬試題等．日積月累，定會使解題功力大增，數學素養大幅提升．