一道猜想不等式的簡(jiǎn)證

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(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310006)

一道猜想不等式的簡(jiǎn)證

●王紅權(quán)

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310006)

宋慶老師在文獻(xiàn)[1]提出了一個(gè)不等式猜想如下：

猜想1若a，b，c是滿足a+b+c=1的正數(shù)，求證：

楊晉老師在文獻(xiàn)[2]對(duì)猜想1進(jìn)行了如下推廣：

猜想2已知x1，x2，…，xn(n≥2)均為正實(shí)數(shù)，且x1+x2+…+xn=1，m∈N+，m≥2，證明或否定：

筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3，m=2時(shí)，不等式(2)并非不等式(1)，猜想系作者筆誤．本文修正不等式(2)如下．

猜想3已知x1，x2，…，xn(n≥2)均為正實(shí)數(shù)，且x1+x2+…+xn=1，m∈N+，m≥2，證明或否定：

下面先給出不等式(1)的一個(gè)十分簡(jiǎn)單的證明，再證明猜想3是正確的．

1 猜想1的簡(jiǎn)證

從而不等式(1)可轉(zhuǎn)化為

注記上述對(duì)猜想1的證明簡(jiǎn)單通俗，從證明過程中可以得到，不等式(1)可以看作是Nesbitt不等式的一個(gè)推廣．

2 猜想3的證明

引理1已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且a+b=1，m∈N+，m≥2，則

證明根據(jù)二項(xiàng)式定理，有

兩邊同乘以a，得

再兩邊同除以bm，即得

引理2[3](冪平均不等式)設(shè)x1，x2，…，xn均為正數(shù)，且有α≥β>0，則

證明(1)根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式，得

從而

(2)根據(jù)引理2，有

下面證明猜想3：

證明由題意x1+(x2+…+xn)=1.根據(jù)引理1，得

根據(jù)引理3，得

故猜想3成立．

[1] 宋慶，周芽瑜．關(guān)于證明不等式的一些思考[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012(2)：33-35.

[2] 楊晉．關(guān)于兩道猜想不等式的簡(jiǎn)證[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2012(5)：62-63.

[3] 匡繼昌．常用不等式[M]．濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004：38.