巧用函數的性質和圖像速解、智解數學題

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(青田縣教育局 浙江青田 323900)

巧用函數的性質和圖像速解、智解數學題

●高歌

(青田縣教育局 浙江青田 323900)

考試是“對”、“錯”的較量，“快”、“慢”的競技．在考試規定的時間內，又“對”又“快”地完成考題、選準答案，實現單位時間內答題成功的最大效應，是我們孜孜以求的愿望和永恒不變的追求！在數學高考堅定不移地堅持“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立“以能力立意命題”的指導思想，著力實現“多想少算”的思想理念，在“考基礎、考能力、考智慧”等方面下功夫，將“知識、能力和素質”融為一體.在全面檢測考生數學綜合素養的大背景下，如何提高數學解題方法的多樣性、靈活性與變通性，提升解題的技術能力與策略水平，顯得尤為重要！

筆者認為，在日常教學中，教師應當在掌握“數學基本知識、基本技能和基本思想方法以及通性通法”的基礎上，注重解題技能的訓練，數學解題要力求“強攻”和“輕取”并舉、“通法”和“巧法”并重，著力優化算理算法，不斷提升解題技法．教師不僅要“會算，會少算，會巧算、簡算、估算”，也要“會速算，會心算，會智算”，乃至“會不算”就能破解數學問題，以致使數學解題步入“對而快，快而對”的藝術境界．本文簡單地闡述如何以超然的視角與獨到的眼光，巧妙運用函數的性質特點與圖像特征，迅速求解數學考題，從而大幅提高數學解題的“速度”與“效率”．

1 巧用函數定義域，速解與智解數學考題

“函數的定義域”是函數的重要組成部分，是構成函數的2個基本條件之一(另一個基本條件是函數的“對應法則”)，是函數的“三要素”之一．一些函數的定義域有著明顯的性質特征，如：由于奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱，因此奇、偶函數的定義域必定關于原點對稱；由于函數y=f(x)與其反函數y=f-1(x)在同一直角坐標系中的圖像關于直線y=x對稱，因此反函數y=f-1(x)的定義域就是其原函數y=f(x)的值域等等．一旦明白了奇、偶函數的定義域以及互為反函數的性質特征，便能“一舉破解”乃至“一眼望穿”與之相關的數學考題．

( )

(2011年遼寧省數學高考文科試題)

分析本題主要考查奇函數的定義以及相應的變換運算、靈活運用能力．一般的解法是運用奇函數的定義，即：由函數f(x)為奇函數，知f(-x)=-f(x)對定義域內所有的x恒成立，從而

即-x(2x+1)(x-a)=-x(-2x+1)(-x-a)，

2 巧用函數的值域，速解與智解數學考題

“函數的值域”也是構成函數的“三要素”之一．事實上，函數的定義域和對應法則(即構成函數的2個基本條件)一經確定，函數的值域也就隨之確定．對于有些題型(如選擇題)，若能巧妙地利用函數的值域，只要“簡算”(“估算”)，不要“詳算”(“精算”)；只要“動腦”(“心算”)，不要“動手”(“筆算”)，便能快速而準確地找到正確答案．

( )

(2010年全國數學高考課標卷理科試題)

分析本題主要考查三角恒等變換中倍角公式的靈活運用、同角三角函數關系等知識以及相應的運算能力.若用“算到底”的思路求解，可能會采用以下4種解法.

故

從而

速解與智解1因為α是第三象限的角，則

圖1

3 巧用函數奇偶性，速解與智解數學考題

函數的奇偶性是函數的重要性質之一，其特點是奇偶性函數的圖像具有某種整體對稱性：奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱．在這些對稱性中隱含著重要的數學結論，巧妙運用奇、偶函數的這些對稱性及其蘊含的重要結論，往往可以使許多復雜的求解變得簡單．

例3設偶函數f(x)滿足f(x)=x3-8(x≥0)，則{x|f(x-2)>0}=

( )

A．{x|x<-2或x>4} B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<-2或x>2}

(2010年全國數學高考課標卷理科試題)

分析本題主要考查偶函數的性質、不等式的解法以及相應的運算能力.直接求解可能采用以下2種解法.

解法1當x<0時，-x>0，得

f(x)=f(-x)=-x3-8，

于是

則

令f(x-2)>0，得x>4或x<0.故選B.

解法2當x≥2時，

f(x)=x3-8>0,

解得

x>2.

因為f(x)是偶函數，所以當x∈R時，f(x)>0的解集為{x|x<-2或x>2}.又因為函數f(x)向右平移2個單位就得到函數f(x-2)，所以f(x-2)>0的解集為{x|x<0或x>4}.故選B．

實際上本題并不需要這樣一步一步來求解，利用偶函數的對稱性就可以一步到位．

速解與智解由于偶函數f(x)的圖像關于y軸對稱，則不等式f(x)>0的解集也關于y軸對稱，因此不等式f(x-2)>0的解集關于直線x=2對稱，據此只能選擇B．

4 巧用函數單調性，速解與智解數學考題

“函數的單調性”是函數的又一個重要性質，函數的單調性直觀地呈現出函數圖像增減變化的特點．有效地運用函數的單調性，可以快速地比較函數值的大小關系．尤其值得注意的是，利用函數的單調性可以把復雜的不等式求解、不等式證明以及比較大小等問題“轉化”與“化歸”為較簡單的不等問題來處理．

例4如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ)，θ∈[0,2π),那么θ的取值范圍是______．

(2011年全國高中數學聯賽試題)

分析本題一般的求解方法是先“移項”，得

cos5θ-sin5θ+7(cos3θ-sin3θ)<0，

再對左邊式子“因式分解”來處理．但依據高中學生的知識基礎，對左邊式子的因式分解有一定的難度(即使能分解，其過程也相當復雜).但如果通過適當的變形，發現其為某一函數的變換，利用其單調性便可輕松破解．

速解與智解由已知,得

cos5θ+7cos3θ

5 巧用函數的圖像，速解與智解數學考題

“函數的圖像”是函數性質的直觀體現，其最大的作用是讓我們清晰地看到了函數的具體變化情況．在平常解決數學問題時，要注意把“數量關系”與“圖形圖像”聯系起來，要注重對函數圖像的把握與運用，從而使問題變得更加直觀．事實上，“數形結合，以形助數”是一種極其重要的思想方法，更是一種重要的解題策略，利用函數的圖像往往使有關問題的求解變得“直觀而清晰、自然而便捷”．

( )

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

(2010年天津市數學高考理科試題)

分析本題主要考查函數求值、不等式求解、對數函數的單調性、對數的基本運算等基礎知識，并考查分類討論的數學思想．其一般的求解是用“分類討論”的方法：

當a>0時，由f(a)>f(-a),得

即

則

解得

a>1.

當a<0時，由f(a)>f(-a),得

即

則

解得

-1

故選C.

若先畫出該分段函數的圖像，由函數圖像的直觀性，答案便立竿見影(還可以用“特殊值法”)．

圖2

速解與智解利用“數形結合”的思想，先畫出函數的圖像(如圖2)，則函數的內部結構及變換特征便“一覽無余”，由圖像便可選定C為正確答案.

“函數”是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，“函數的思想方法”貫穿在整個高中數學課程的始終，“函數內容”也是高考數學的重要組成部分，在每年高考中都占有相當大的比重．我們要善于巧妙利用函數的諸多性質及其圖像特征，使之成為快速而有效破解有關數學問題的一把“利劍”！

[1] 蔣海甌．關于試卷講評的“點滴見解”[J]．中學數學教學參考:上旬，2012(5)：51-54．

[2] “2010年高考：數學答題中的優美解及典型失誤”證文選登(二)[J]．中學數學教學參考:上旬，2010(8)：38-53．