幾個最值問題的再思考

●

(奉化高級中學 浙江奉化 315500)

幾個最值問題的再思考

●羅永高

(奉化高級中學 浙江奉化 315500)

文獻[1]給出了3個最值問題：

(1)略；

(2)求|OM|+|ON|-|MN|的最大值.

作者用純粹的代數方法，并巧施待定系數法構造柯西模型展示了3個相關問題的初等解法.細心的讀者不難發現，3個問題均蘊含幾何意義，能否運用幾何意義來解答上述3個問題呢？

1 化歸問題

過點P(4,8)任作一條直線分別交x軸、y軸的正半軸于點M(a,0),N(b,0)，求Rt△OMN中直角所對旁切圓半徑的2倍的最小值.

2 問題解決

2.1 問題1的解答

圖1

解如圖1，設△OMN中直角所對旁切圓的圓心為C,令旁切圓的半徑為r,則點C的坐標為(r,r).因為|CP|≥r,所以

(r-4)2+(r-8)2≥r2,

即

r2-24r+80≥0,

解得r≥4或r≥20.顯然r≥4不符合條件，舍去.

2.2 一般情形

運用上述方法，可得以下一般情形:

同樣可得問題2與問題3的一般情形：

定理2過定點P(m,n)(m>0,n>0)的直線l交x軸的正半軸于點M,交y軸的正半軸于點N,O為坐標原點.令|OM|=a,|ON|=b,Rt△OMN內切圓的半徑為r,則

證明如圖2，設△OMN內切圓的圓心為C,令內切圓的半徑為r,則點C的坐標為(r,r).因為|CP|≥r,所以

(r-m)2+(r-n)2≥r2,

即

r2-(2m+2n)r+m2+n2≥0,

圖2

從而

解得

從而

得

點評解決上述問題除了發現|CP|≥r以外，還需要對內切圓存在的條件進行分析，只有當kCP>0時，內切圓存在，否則內切圓不存在.

3 進一步推廣

問題4過定點P(m,n,p)(m>0,n>0,p>0)的平面α交x軸的正半軸于點A,交y軸的正半軸于點B,交z軸的正半軸于點C,O為坐標原點.令|OA|=a,|OB|=b,|OC|=c,三棱錐O-ABC的內切球半徑為r,求內切球半徑的最大值.

解如圖3，設內切球的球心為M,內切球的半徑為r,則M(r,r,r),因為|MP|≥r,所以

(r-m)2+(r-n)2+(r-p)2≥r2，

即

2r2-2(m+n+p)r+m2+n2+p2≥0.

令Δ=4[(m+n+p)2-2(m2+n2+p2)]=4(2mn+2mp+2np-m2-n2-p2).

(1)當Δ≤0,即m2+n2+p2≥2mn+2mp+2np時，

2r2-2(m+n+p)r+m2+n2+p2≥0

對任意的r恒成立，因此r沒有最值.

(2)當Δ>0,即m2+n2+p2<2m+2mp+2np時，

圖3

(m-r)∶(n-r)∶(p-r)=bc∶ac∶ab,

從而

即

圖4

問題5過定點P(m,n,p)(m>0,n>0,p>0)的平面α交x軸的正半軸于點A,交y軸的正半軸于點B,交z軸的正半軸于點C,O為坐標原點.令|OA|=a,|OB|=b,|OC|=c,三棱錐O-ABC的頂點O所對旁切球的半徑為r,求旁切球半徑的最小值.

解如圖4，設旁切球的球心為M,半徑為r,則點M的坐標為(r,r,r).因為|MP|≥r,所以

(r-m)2+(r-n)2+(r-p)2≥r2，

即

2r2-2(m+n+p)r+m2+n2+p2≥0.

令Δ=4[(m+n+p)2-2(m2+n2+p2)]=4(2mn+2mp+2np-m2-n2-p2).

(1)當Δ≤0,即m2+n2+p2≥2mn+2mp+2np時，

2r2-2(m+n+p)r+m2+n2+p2≥0

對任意的r恒成立，因此r沒有最值.

(2)當Δ>0,即m2+n2+p2<2mn+2mp+2np時，

因此,當m,n,p滿足m2+n2+p2<2mn+2mp+2np時，旁切球的半徑有最小值，最小值為

以上通過對每個問題的幾何意義進行分析：首先從圖形中找到不等關系；然后分析最值取得的條件，使問題的解答變得直觀易懂，易于洞察問題的本質.盡管探求過程充滿艱辛，但又一次讓人體驗到“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”.只有數形結合，數學才會展現出其藝術魅力.

[1] 李建潮.關于幾個最值問題的研究[J].中學教研(數學),2013(1):39-41.