對浙江省會考導引中一道錯題的論證

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(溫州市第二十二中學 浙江溫州 325000) (嘉興市教育局 浙江嘉興 314000)

對浙江省會考導引中一道錯題的論證

●古征峰●曹鴻德

(溫州市第二十二中學 浙江溫州 325000) (嘉興市教育局 浙江嘉興 314000)

2013年浙江省會考導引中第7章“導數及其應用”B組的第10題原題如下：

例1已知奇函數f(x)是定義在R上的可導函數，f(1)=0，當x>0時，xf′(x)+f(x)<0，則x2f(x)>0的解集為

( )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)

圖1

答案為B，解法如下：

令h(x)=xf(x)，x∈R，易知h(x)為偶函數，當x>0時，h′(x)=xf′(x)+f(x)<0，知h(x)在(0,+∞)上單調遞減，在(-∞,0)上單調遞增，結合h(1)=1·f(1)=0，從而h(x)的圖像如圖1所示.由x2f(x)=xh(x)>0，得

解2個不等式，得x2f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).故選B．

很多教師的解答與上述解法一致，但筆者認為這是一道錯題，理由是滿足條件的f(x)并不存在，因為h(0)=0·f(0)=0(f(x)為R上奇函數)，h(1)=0，而且h(x)在點x=0處連續，因此由圖像可知，在(0,1)上不可能單調，從而導致矛盾.但是這樣的理由只借助了圖像，不夠嚴謹，下面將予以嚴格證明．在證明之前，首先了解可導函數的定義與幾個定理：

可導函數的定義[1]若函數f(x)在區間I上每一點都可導(對區間端點，僅考慮相應的單側導數)，則稱f(x)在I上的可導函數．

定理1[1]若函數f(x)在點x0可導，則f(x)在點x0連續．

定理2[1]若函數u(x)和v(x)在點x0可導，則函數f(x)=u(x)·v(x)在點x0也可導，且f′(x0)=u′(x0)v(x0)+u(x0)v′(x0)．

其中U°(x0,δ)={x|0<|x-x0|<δ}，下同.

定理5同時滿足下列條件的函數f(x)不存在．

(1)f(x)為定義在R上的奇函數，且f(1)=0；

(2)f(x)為R上的可導函數，且當x>0時，xf′(x)+f(x)<0

證明(反證法)假設存在這樣的函數f(x)，因為f(x)為定義在R上的奇函數，所以

f(0)=0.

所以h(0)≥A>0．

而另一方面，因為h(x)=xf(x)在x=0上有定義，所以h(0)=0·f(0)=0，矛盾.因此，假設不成立，定理5成立．

建議將例1中f(x)的定義域改為(-∞,0)∪(0,+∞)，即：

例2 已知奇函數f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的可導函數，f(1)=0，當x>0時，xf′(x)+f(x)<0,則x2f(x)>0的解集為

( )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)

答案仍為B．滿足題意的函數如

這一錯題讓筆者認識到作為一名高中數學教師，必須具備一定的研究高等數學的基本素養．

[1] 華東師范大學數學系．數學分析(上冊)：3版[M]．北京：高等教育出版社，2001：49-95．