由橢圓的發現看創新能力培養

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(學軍中學 浙江杭州 310012)

由橢圓的發現看創新能力培養

●聞杰

(學軍中學 浙江杭州 310012)

1 由圖形的演變發現橢圓的第一定義

課前，教師讓每位學生準備1根繩子(線段)、2個圖釘、1張硬紙板和1支鉛筆.

開課時，首先讓學生把線條對折后用一個圖釘釘住分頭的一端，另一頭用鉛筆畫出軌跡圖1(圓),讓學生把線段的分頭端稍微分開并用2個圖釘釘住2端，再畫軌跡圖2(發現不圓了),繼續把線段的分頭端再分開大一些并用2個圖釘釘住2端，畫軌跡圖3(發現更扁了)……一直到把線段拉直，畫出的軌跡是線段為止.

圖1 圖2 圖3

然后教師通過多媒體演示圓的軌跡，慢慢將圓心分離為2個點，此時圓會慢慢變扁.如果讓點F1,F2關于中心點O對稱移動，則畫出的圖像如圖4所示.讓學生觀察，原圓上的點在直徑A1A2的端點處保持不變，其他點隨著點F1,F2的分離慢慢向直徑壓縮，圖形慢慢變扁.

圖4

由于圓上的動點P到圓心的距離的2倍，即2|PO|=|PO|+|PO|=2a不變，因此在分離點F1,F2的過程中軌跡圓變扁了，但|PF1|+|PF2|=2a沒變.

此時，可因勢利導讓學生思考2個問題：

(1)這個扁圓上的點與原圓上的點否存在某些確定的關系？(y坐標按比例壓縮.)

(2)聯想圓的定義,你能歸納出扁圓的定義嗎？(第一定義.)

結論當動點P到2個定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)時，動點P的軌跡是扁圓，我們稱之橢圓，這2個定點稱為焦點(為什么稱為“焦點”學生可能會感到疑惑，教師可以引導學生對“焦點的實際含義”作進一步的思考，事實上它與光學性質相關).

評注由圓的圓心分離成2個定點，并保持了|PF1|+|PF2|=2a不變，從而使圓演變成橢圓，這是一種創新，且從中探索出了橢圓的第一定義.整個過程學生一會激動，二會感到神奇，三會沉思.

激動的是：圓心分離后怎么軌跡變扁了.

神奇的是：這個扁圓上的點到2個定點的距離之和竟然不變.

沉思的是：這種現象能否從理論上給出證明.

2 由圖形的幾何特征類比橢圓方程

為了給出上述結論的理論證明，需要建立坐標系.可先讓學生回顧圓方程的建立過程.

師：建立坐標系的目的是什么？怎樣建立坐標系最合理？圓的標準方程為什么這么簡潔？

對比“圓”(圖5)，可以很快地在“橢圓”(圖6)上建立直角坐標系.圓方程為x2+y2=a2，那么橢圓方程如何表示呢？

圖5 圖6

師：在“圓與橢圓”對應的坐標系下，圓方程已經知道，且很簡潔，如何猜想橢圓的方程呢？

猜想不可盲目，要有一定的理論根據.可以先讓學生獨立思考，再相互討論，然后一起分析探求.分析圓方程的特征與幾何特征的關系如下：

(1)圓關于y軸對稱，故有x的平方項x2，不應有x的一次項，否則不對稱；

(2)圓關于x軸對稱，故有y的平方項y2，不應有y的一次項，否則不對稱；

(3)圓與x軸的交點為A1(-a,0)，A2(a,0),故當y=0時，有x2=a2；

(4)圓與y軸的交點為B1(0,-a)，B2(0,a),故當x=0時，有y2=a2；

(5)圓方程為：x2+y2=a2順理成章，如圖7所示.

再分析橢圓方程應該具有的特征與幾何特征的關系如下：

(1)′橢圓關于y軸對稱，故應有x的平方項x2，不應有x的一次項，否則不對稱；

(2)′橢圓關于x軸對稱，故應有y的平方項y2，不應有y的一次項，否則不對稱；

(3)′橢圓與x軸的交點為A1(-a,0)，A2(a,0),故當y=0時，有x2=a2;

(4)′橢圓與y軸的交點為B1(-a,0)，B2(a,0),故當x=0時，有y2=b2;

(5)′橢圓方程是：________.

注：橢圓與y軸的交點可設為B1(0,-b),B2(0,b)，如圖8所示.

圖7 圖8

這種從圓的幾何特征到橢圓的幾何特征去分析對應方程的特征，然后通過類比得出未知曲線的方程是一種創新能力的體現，在教學中值得教師花時間去培養.

3 由方程的簡化過程發現橢圓的第二定義

在圖6的坐標系下，設焦點F1(-c)0，F2(c,0),則

方程(1)實質上就是橢圓方程，但是它的形式太復雜，幾何特征不明顯，使用不方便，故需要對其進行簡化.化簡方程的過程又是一次創新的機會，如何轉化既快又好？

(讓學生嘗試討論，獨立化簡，教師巡視.)

一般情況下學生可能會提出以下2種方法：

(1)移項平方法.把左邊一個根式移到右邊后，2邊同時平方，再把其他項移到右邊，留根式在左邊，再2邊同時平方，整理即可.

(2)直接平方法.2邊直接平方，留根式在左邊，其他項移到右邊，再2邊平方，并整理也可.

師：上述2種方法均可行，但運算量太大，運算過程也不美.其實有更好、更有效的方法，仔細觀察式(1)的結構特征，發現左邊的2個根式有很好的對稱性，且又是齊次等系數根式，故可考慮分子有理化，即

聯立式(1),式(2)，得

式(1)-式(2),得

觀察式(3)，還會有新的發現:等式左邊是動點P到右邊焦點F2的距離|PF2|，因此從“=”成立的意義考慮，右邊也應該是距離，請同學們探索.

評注此處又是一個創新點，教師不要輕易放過，應讓學生研究討論.教師要相信學生無窮的智慧和力量，給予學生機會，讓他們勇于嘗試，不要一味地包辦代替，抹殺學生的創新精神.

師生(一起分析)：一般情況下2個點的距離是“平方和”的形式,而式(3)的右邊不是“平方和”的形式，怎么辦?說明這是特殊的距離，如果式(3)改寫為

圖9

這條定直線稱為橢圓的“右準線”(為什么要稱“準線”).此處，又埋下伏筆，引發學生思考.上式還可改寫為

式(1)+式(2)，同理得到左焦點與左準線，即

化簡得

評注這樣的化簡既對稱又簡潔，運算有美感.同時又能及時發現橢圓的第二定義.

對式(3)平方，由a2-c2=b2，化簡得

至此方程完璧歸趙，與猜想完全吻合.

4 由對偶思想又可發現雙曲線的定義

抓住時機，進一步引導，由上述的對偶運算還可以發散思維，如果把式(1)中根式間的“+”改成“-”會怎樣？即方程改寫為

(1)′

曲線又會是怎樣呢？

聯想式(1)的分子有理化方法，同樣可以對式(1)′的分子進行有理化，得

(2)′

式(2)′-式(1)′,得

式(2)′+式(1)′,得

評注用這種思路給學生上課，揭示了知識發生發展的原始軌跡，有一氣呵成的感覺.整個過程教師牢牢地吸引住學生的思維，讓他們始終處于積極的思考狀態中，久而久之學生習慣了，就慢慢形成了創新意識.一個人如果有了創新意識，就會有創新精神，也就會有創新的動機，同時創新的能力也會慢慢得到培養.

5 拓展延伸

本節內容有很多創新的材料和機會，需要教師去把握、引導和運用.如可以布置動手操作的作業：

(1)你有更好的方法畫出給定長軸和短軸的橢圓嗎？

這些問題可以讓學生在課外討論解決，并在下節課上匯報、總結、點評.

6 教學隨感

現行教學由于某種因素的影響變得有些功利化：教學知識時“去頭掐尾取中間”，“去頭”是去掉了“知識的發生、發展的原始軌跡”，“掐尾”是掐掉了“知識的拓展與延伸”，“取中間”也只是把書上的“定義、定理、公式”直接拋給了學生，致使學生沒有創新意識，更無創新能力可言.

其實從創新思維的機制來看，一節課不必拘泥于幾個環節(一堂課的基本環節)，達到幾個目標(情感目標、思想目標、知識目標).關鍵在于：教師在這堂課中給予了學生什么；學生學到了什么；學生潛意識中的創造欲望是否被覺醒；觀察、類比、聯想、歸納等能力是否有所培養；創新意識、創新精神、實際動手能力是否有了提高；發散性思考問題的思維習慣是否有了改變；嘗試探索的意識是否有了加強；整節課從開課到收尾是否環環相扣，牢牢抓住學生的注意力，讓學生始終處于積極思維的狀態中，給人一氣呵成之感.

創新教育就要求師生之間應形成民主平等的和諧氣氛，要為學生思考、探索、發現和創新提供最大的空間，使教學活動真正建立在學生自主活動和探索的基礎上，進而形成有利于學生主體精神、創新能力健康發展的寬松的教學環境和教學體系.本堂課從一開始就放手讓學生動手自主操作：畫圓后分離圓心，觀察、發現圓的變化與半徑和的(焦半徑和)不變，感悟出橢圓的第一定義.并繼續放手讓學生大膽從圓的幾何特征和圓的標準方程的代數特征中類比出橢圓的幾何特征和橢圓的標準方程的代數特征，從而猜想出橢圓的標準方程.這里因為給予了思維空間和時間學生才會有這種嘗試探索的欲望，從而培養他們的創新能力.

在課堂教學中，允許學生與學生、學生與老師之間展開討論，這能激活學生的創新思維.討論的過程實質是相互競爭、相互誘導、相互激活的過程，學生的創新思維和想象在討論中一旦被觸發，有如激流奔放，甚至可以形成洶涌的創新思維浪潮.如本節課在化簡橢圓方程前對方程形式的探求中，對橢圓方程化簡過程的多種思維碰撞、討論，對橢圓第二定義的發現等，均能吸引學生思考，拓寬思維的空間，激活學生從多角度、多層次去思考問題，迸發出創新思維的火花.

“問題是數學的心臟”，要培養學生的創新能力，首先要為學生創設好問題，何為好問題呢？就是所給的問題是學生熟悉的(原有知識基礎上的延伸或是生活中的實際問題等)，精心設計問題情境，要通過問題情景的創設，打破學生的心理平衡，如本課把主動權完全交給學生在給予空間和時間的同時把一串問題鏈拋給學生：從圓怎樣演變成橢圓——怎么發現橢圓的第一定義——從圓與橢圓幾何特征的異同性類比猜想出橢圓標準方程——化簡方程的過程優化——化簡中的再思考再發現——橢圓第二定義的發現——橢圓標準方程的推出——對式(1)對偶式的思考——得出雙曲線的第一定義……讓學生的思維引起強烈的認知沖突，激發學生的學習興趣和學習熱情，調動學生學習的主動性、積極性和創造性，把學生作為一個整體發動起來.

最有效的學習應是讓學生在體驗和創造的過程中進行有意義的學習.數學課堂教學的關鍵是學生接受式學習與發展式學習互相補充、合理結合.數學學習的本質是學生獲取數學知識、形成數學技能和能力的一種思維過程.“思考”是學生學習數學過程中的本質特點.如本課對方程的簡化提出思考(分子有理化、對偶運算)，對化簡后的式(3)提出幾何背景的思考(得到橢圓第二定義)，對式(1)的結構提出對偶思考(得到雙曲線定義)等.

學生的數學思維是對自身活動的反思，是對已有經驗的反思.因此，我們應該把學生的數學思考作為整個數學學習活動的核心，更多地關注學生在思考什么、怎樣思考的、思考的結果如何.筆者認為這樣的課堂才是有效的、智慧的、精彩的!