一組函數單調性問題的錯解剖析與思考

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(臺州中學 浙江臨海 317000)

一組函數單調性問題的錯解剖析與思考

●潘加正

(臺州中學 浙江臨海 317000)

函數單調性含參問題是近幾年高考的熱點和重點之一，也是學生感到困惑和棘手的問題之一,這些問題一般都要轉化為研究導函數的圖像和性質得以解決.導數是個有力的工具,作為教師,在使用這些知識(工具)的過程中,必須注意其科學性和嚴謹性，在求參數范圍時,要注意轉化的等價性.受文獻[1]啟發，本文對函數單調性問題的轉化和化歸進行了研究，以此拋磚引玉，與同行一起探討函數單調性問題的解決策略和方法.

1 原題解答

a≥[g(x)]max或a≤[g(x)]min.

筆者認為第(1)小題的分析是正確的，而第(2)小題和第(3)小題的分析有誤，其轉化是不等價的.剖析如下：

2 錯解剖析

2.1 第(2)小題剖析

因為x∈(0,+∞),所以

即M=(0,1].因為p∈M,可取p=1,此時

從而f(x)在定義域內為單調遞增函數，與已知f(x)在定義域內不單調矛盾.

下面筆者給出第(2)小題的3種解法.

圖1

綜上所述，p∈(0,1).

綜上所述，0

筆者對第(2)小題進行研究，得到：

定理1已知f(x)在定義域內可導，且非常函數，則以下4個命題等價：(1)f(x)在定義域內不單調；(2)f(x)在定義域內至少存在1個極值點；(3)f′(x)=0在定義域內至少有1個解x0(x0為非偶重根)；(4)在定義域內，f′(x)的函數值有正有負.

2.2 第(3)小題剖析

a≥[g(x)]min.

故f(x)在(0，+∞)上為單調遞增函數，與已知f(x)存在遞減區間矛盾.

下面筆者給出第(3)小題的3種解法.

解法2設f(x)為可導非常函數，則以下2個命題等價：(1)f(x)在x∈I內有單調遞減區間；(2)存在區間D?I，使得當x∈D時，f′(x)<0成立.

利用數形結合，得

研究g(x)=-ax2-2x+1在x∈(0,+∞)的正負情況：

當a>0時,g(x)在x∈(0,+∞)上單調遞減，且g(0)=1>0,故存在x0∈(0，+∞),使得f(x0)=0,因此當x∈(x0,+∞)時,g(x)<0,即f′(x)<0,亦即f(x)在(x0,+∞)上單調遞減.

綜上所述，a>-1.

筆者對第(3)小題進行研究，得到：

定理2已知f(x)在定義域I內可導，且非常函數，則以下3個命題等價：(1)f(x)在x∈I內有單調遞減區間；(2)f′(x)<0在x∈I內有解；(3)存在區間D?I,使得當x∈D時，f′(x)<0成立.

3 結束語

羅增儒教授曾在文獻[2]中提出錯題分析必須堅持的基本態度：(1)解題錯誤的產生總有其內在的合理性，解題分析首先要對合理成分做充分的理解；(2)要通過反例或啟發等途徑暴露矛盾，引發當事者自我反省；(3)要正面指出錯誤的地方，具體分析錯誤的性質；(4)作為對錯解的對比、補救或糾正，給出正確解法是絕對必要的.筆者正是在羅增儒教授的理論指導下進行解題分析實踐和錯題分析的.當然由于每個人看待同一個錯解會有不同的看法，筆者的看法可能還存在問題或有不完整性，歡迎同行的批評和指正！

[1] 呂增鋒.“心動、生情、鐘愛”—分離參數法教學“情感三部曲”[J].中學數學教學參考,2012(6):19-21.

[2] 羅增儒.解題分析—談錯例剖析[J].中學數學教學參考,1999(12):1-4.

[3] 孫海琴.一道高考題的解題失誤引發的思考[J].中學教研(數學),2008(11):31-32.

[4] 董軍勝.“看錯題”現象的類型與對策[J].數學通訊,2011(3):8-11.

[5] 張先軍.含參數的恒成立問題[J].中學教研(數學),2012(2):36-39.