運用焦半徑公式 速解焦點弦問題

●

(北侖中學 浙江寧波 315800)

運用焦半徑公式速解焦點弦問題

●馬洪炎

(北侖中學 浙江寧波 315800)

文獻[1]介紹了一道解析幾何試題(橢圓中涉及焦點弦的問題)的2種解法及教學過程，筆者閱后受益匪淺.經研究還發現對于圓錐曲線過焦點弦的問題還有更加簡捷的解法，現介紹如下，供大家參考．

通常把圓錐曲線上的點P與圓錐曲線的焦點F的連線段PF稱為圓錐曲線過點P的焦半徑．文獻[1]中介紹的解法2之所以比解法1要簡捷許多，其主要原因是在解法2中注意到橢圓的焦半徑公式|AF|=a-ex0(不妨稱為坐標形式)的應用.本文先介紹一組圓錐曲線的焦半徑公式的另一種形式(不妨稱為角度形式)，然后簡單介紹其應用．

圖1 圖2

證明如圖1,作FQ⊥l于點Q，則|FQ|=p，作AA0⊥l于點A0，BB0⊥l于點B0，FM⊥AA0于點M，BN⊥FQ于點N.令|FQ|=u,|BF|=v，則

在Rt△AFM中，

|AM|=|AF|cosα=ucosα,

即

解得

在Rt△BFN中，

|FN|=|BF|cosα=vcosα，

即

解得

(對于拋物線x2=2py也有類似性質.)

圖3 圖4

2 公式的簡單應用

2.1 計算焦半徑及過焦點的弦長

圖5

(1)若直線l斜率為1，求直線l′的方程;

分析本題第(2)小題是一個典型的解析幾何定值問題,通常可運用函數的思想方法解之,其解題過程可歸納為：一選，二求，三定值.具體操作程序如下:

一選:選擇參變量.需要證明為定值的量在通常情況下應該是變量,它應該隨某一個量的變化而變化,可選擇這個量為參變量．

二求:求出函數的解析式.即把需要證明為定值的量表示成關于上述參變量的函數．

三定值:化簡函數解析式得到定值.由題目的結論可知要證明為定值的量必與參變量的大小無關,故求出的函數必為常數函數,因此,只需對上述函數的解析式進行必要的化簡即可得到定值．

文獻[1]介紹的解法1(復雜解法)選擇以直線AB的斜率k為目標函數的變量;解法2(簡捷解法)選擇線段AB的中點N的橫坐標為目標函數的變量.在運用函數的思想方法解決定值問題時,目標函數變量的選擇顯得很重要.由于角度形式的焦半徑公式與本題相關的線段可直接對話,因此也可選擇直線AB與x軸的夾角α為目標函數的變量.

設AB的中點為N,則

即

在Rt△MNF中，

評注直線AB與x軸夾角為α的幾何意義更加明確,運算過程顯得更簡捷.運用這種解法,不難得到第(2)小題更一般的結論．

圖6

(浙江省名校新高考研究聯盟2013屆第一次聯考試題改編)

從而

2．2 求2條焦半徑的比值

(2008年江西省數學高考理科試題)

解由題意可知,直線AB與拋物線對稱軸(y軸)的夾角α=60°,且|BF|>|AF|,由推論1可知

于是

2.3 求焦點弦所在直線的斜率或傾斜角

( )

(2010年全國數學高考理科試題)

從而

即

2.4 求圓錐曲線的離心率或標準方程

( )

(2009年全國數學高考理科試題)

從而

即

4(a-ccos60°)=a+ccos60°,

(1)求橢圓C的焦距；

(2010年遼寧省數學高考文科試題)

解(1)橢圓C的焦距2c=4(過程略)．

從而

即

2(a-ccos60°)=a+ccos60°,

圓錐曲線中涉及“焦點弦”、“焦半徑”問題一直是高考和競賽中的熱點問題之一.選擇相關直線的斜率為參變量解決問題時，一般的操作過程是把直線方程代入曲線方程，得到關于x的一元二次方程，然后利用韋達定理解決之，運算量往往較大.若運用角度形式的焦半徑公式，則可簡化運算過程，直達問題結論，收到事半功倍的效果．

[1] 崔志榮,薛宗華.一道解析幾何題運算教學的實踐與思考[J].中學教研(數學),2013(1)：13-15.