如何培養(yǎng)學(xué)生的“感知論證”能力——由學(xué)生“想不到”引起的反思與實(shí)踐

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(元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300)

如何培養(yǎng)學(xué)生的“感知論證”能力——由學(xué)生“想不到”引起的反思與實(shí)踐

●甘建飛

(元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300)

1 問題的提出

長期以來，關(guān)于解決幾何問題的2種論證方式：推理論證與感知論證，有著不小的爭議.贊成推理論證的教師認(rèn)為：解決幾何問題應(yīng)該從已知條件出發(fā)，通過層層推理，最終得到結(jié)論.贊成感知論證的教師認(rèn)為：解決幾何問題應(yīng)該先“感知”可能的結(jié)論，然后再論證“感知”是否正確.“感知論證”使幾何想象能力強(qiáng)的學(xué)生在解決問題時(shí)脫穎而出.但“感知論證”的教學(xué)也存在一個(gè)很大的困惑：教師很難去解釋思維的起點(diǎn)(即如何想到).正因?yàn)椤案兄撟C”的偶然性，最初筆者對(duì)“感知論證”也持謹(jǐn)慎態(tài)度.不過數(shù)年前的一堂立體幾何課，引起了筆者的思考，在這幾年作了不少嘗試，現(xiàn)對(duì)此作一論述，希望各位同行批評(píng)指正.

2 課堂片斷再現(xiàn)

(給出例題，學(xué)生開始思考……)

圖1

例1如圖1，在ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E為線段AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F(xiàn)為線段A′C的中點(diǎn)，設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值．

師:請(qǐng)一位同學(xué)說一下解題思路.

生1:過點(diǎn)F作平面A′DE的垂線，垂足為H，聯(lián)結(jié)MH，則∠FMH就是所求直線與平面的所成角.但點(diǎn)H還沒找到.

(大多數(shù)同學(xué)由于無法確定點(diǎn)H的位置，解題陷入困境.)

生2:等體積法應(yīng)該能求出點(diǎn)F到平面A′DE的距離，但還沒想好怎么算.

生3:由平面A′DE⊥平面BCDE可知，過點(diǎn)C作DE的垂線CN，則CN⊥平面A′DE，再在△A′NC中作A′N的平行線FH，就可以找到垂足H.

(學(xué)生進(jìn)行了復(fù)雜的計(jì)算，其中部分學(xué)生雖然沒有得到點(diǎn)N的精確位置，但計(jì)算得到了CN的長度，進(jìn)而得到了所需的答案.)

師:得到答案的同學(xué)看看，點(diǎn)N的具體位置到底在哪里？

(學(xué)生通過數(shù)據(jù)比對(duì)，發(fā)現(xiàn)CN=CE，原來點(diǎn)N與點(diǎn)E重合!)

生4(很懊惱):我怎么就沒去想想點(diǎn)E是不是就是垂足呢!其實(shí)剛開始就找準(zhǔn)垂足，論證和計(jì)算是很容易的.

事實(shí)上，在課前的預(yù)設(shè)中，筆者認(rèn)為這個(gè)問題的解決只需要5分鐘左右.但在上課過程中，由于學(xué)生“想不到”點(diǎn)E就是垂足，問題的解決足足花了15分鐘.課后筆者問過一些學(xué)生，當(dāng)時(shí)怎么就沒有想到點(diǎn)E就是垂足呢？有學(xué)生回答說，其實(shí)是想過這個(gè)可能，但認(rèn)為不可能這么巧，也就沒有去嘗試“碰運(yùn)氣”.

課后經(jīng)過整理，筆者在另一個(gè)班也上了這節(jié)課，發(fā)現(xiàn)整個(gè)過程大同小異，甚至加入了提示：“同學(xué)們可以先嘗試空間問題平面化，研究一下ABCD.”大部分學(xué)生面對(duì)平面圖形，還是沒有去考慮點(diǎn)E這個(gè)特殊位置，學(xué)生們很默契地將上一節(jié)課的情形又重演了一遍.

顯然，學(xué)生在幾何的學(xué)習(xí)中，有一種推理論證的思維習(xí)慣，只能以推理論證后得到的結(jié)果，反過來去認(rèn)識(shí)圖形.而沒有形成先對(duì)圖形中的可能情形進(jìn)行“感知”，進(jìn)而去論證的習(xí)慣.因此，在解決課例中的問題時(shí)，顯得力不從心.

從那時(shí)起，筆者開始了提高學(xué)生“感知論證”能力的嘗試，在教學(xué)中充分挖掘各種教學(xué)元素(包括代數(shù)中的幾何元素)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“感知論證”的思維習(xí)慣，幫助學(xué)生提高解決幾何問題的能力.

3 前期教學(xué)提升學(xué)生“感知論證”能力的若干教學(xué)片斷

3.1 平面向量教學(xué)中“感知論證”能力的培養(yǎng)

例2如圖2，在ABCD中，AB=1，BC=2,M是BC的中點(diǎn)，求證：AM⊥DM.

圖2

即AM⊥DM.

點(diǎn)評(píng)本例是平面向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用問題，考查如何用向量方法證明垂直.筆者通過教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思考：

圖3

(2)你能否通過上述結(jié)論，在類似問題的判斷中擺脫“絕對(duì)位置”的干擾，只考慮它們的相對(duì)位置嗎？

3.2 直線與圓教學(xué)中“感知論證”能力的培養(yǎng)

例3如圖2，ABCD中，AB=1，BC=2,M是BC的中點(diǎn).

(1)求證:AM⊥DM；

(2)試求∠ABC的取值范圍，使除點(diǎn)M外，線段BC上還存在點(diǎn)N，使AN⊥DN.

圖4

解(1)如圖4，以AD為直徑作圓，顯然點(diǎn)M在以AD為直徑的圓上，由直徑所對(duì)圓周角為直角易得，∠AMD=90°，即AM⊥DM.

點(diǎn)評(píng)利用圓“直徑所對(duì)圓周角為直角”驗(yàn)證是否垂直(或探索是否有垂直)，是圓作為解題工具的主要功能.特別適用于是否存在垂直關(guān)系的快速感知：若以AD為直徑的圓與BC有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則存在2個(gè)滿足題意的點(diǎn)；若沒有交點(diǎn)，則這樣的點(diǎn)不存在.因此，引導(dǎo)學(xué)生“較精確”作圖，并借助圓工具判斷，可以使學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)時(shí)形成“空間問題平面化”的思維習(xí)慣，為立體幾何的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的思維基礎(chǔ).

4 幾點(diǎn)思考

4.1 前期“感知論證”能力的培養(yǎng)，為立體幾何的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)

美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾認(rèn)為，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，他強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是有意義的接受學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)是通過新知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念相互作用而進(jìn)行的，其結(jié)果是新舊知識(shí)意義的同化.

而立體幾何教學(xué)的突破，關(guān)鍵在于：(1)學(xué)生處理平面幾何問題的能力，空間幾何體是由基本的平面圖形構(gòu)成，在前期“感知論證”能力的培養(yǎng)后，學(xué)生的平面處理能力已經(jīng)有了較大的提高，為立體幾何的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)；(2)“感知論證”的思維習(xí)慣，可以使立體幾何的學(xué)習(xí)“事半功倍”.空間中的線面關(guān)系更為復(fù)雜，每一個(gè)關(guān)系都靠推理來論證，顯然是不現(xiàn)實(shí)的.經(jīng)過多年的教學(xué)觀察，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生立體幾何的學(xué)習(xí)困境，很大程度上就是由于太過于執(zhí)著每一個(gè)線面關(guān)系的論證.

4.2 “感知論證”能力的培養(yǎng)，更應(yīng)注重垂直結(jié)構(gòu)的“感知”

在“感知論證”的教學(xué)中，選取的素材大多與垂直有關(guān).這主要基于兩點(diǎn)：(1)在平面向量問題，直線與圓問題的學(xué)習(xí)中，教學(xué)的難點(diǎn)是非垂直問題，垂直問題是此類問題中較容易的問題，卻是提高學(xué)生“感知論證”能力最好的素材.選擇垂直問題，可以在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下，更大限度地提升學(xué)生對(duì)原概念的理解.(2)垂直結(jié)構(gòu)是立體幾何的核心結(jié)構(gòu)，后續(xù)的線面角、二面角等問題，都需要在垂直結(jié)構(gòu)下解決，可以說，垂直結(jié)構(gòu)感知能力的高低，很大程度上決定了學(xué)生的空間想象能力.

事實(shí)上，很多優(yōu)秀的教師，往往在某一知識(shí)教學(xué)之前，就做好了學(xué)習(xí)這一知識(shí)所需能力的培養(yǎng).而年輕教師由于缺少經(jīng)驗(yàn)，往往只能被動(dòng)地等學(xué)生陷入困境時(shí)才發(fā)現(xiàn)問題，但能力的生成不是一蹴而就的，等問題出現(xiàn)后再補(bǔ)救就來不及了.而從前期教學(xué)中合理選擇幾何元素進(jìn)行“感知論證”能力的培養(yǎng)，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)原知識(shí)的同時(shí)，慢慢提高解決立體幾何問題所需的能力,如此可以更好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的系統(tǒng)化，實(shí)現(xiàn)課堂的“輕負(fù)高質(zhì)”.