平面翻折尋常事 一問一變巧傳情——一道立體幾何翻折問題的教學案例

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(象山中學 浙江象山 315700)

平面翻折尋常事一問一變巧傳情——一道立體幾何翻折問題的教學案例

●張美娟

(象山中學 浙江象山 315700)

立體幾何中的“翻折問題”是在圖形動態變化的過程中,探究靜態的空間位置關系與數量關系，是探索變化過程中某一參變量的變化范圍問題,能很好地考查學生的空間想象能力與邏輯推理能力,是這幾年浙江省高考命題的熱點.從2009年開始至今的高考中有3年考到翻折問題,由于翻折使圖形由“靜態”轉化為“動態”,提升了思維的難度,拓寬了空間想象的范圍,學生普遍感到較難把握,從而得分率較低.因此對翻折問題的教學研究,顯得非常重要.本文通過對2012年浙江省數學高考試題第10題——翻折問題的教學,談談如何在教學中滲透“怎么做”,研究思考的突破口,希望能得到同行的指正.

1 問題呈現

( )

A.存在某個位置,使得直線AC與BD垂直

B.存在某個位置,使得直線AB與CD垂直

C.存在某個位置,使得直線AD與BC垂直

D.對任意位置,3對直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數學高考試題)

環節1閱讀型提問,理解題目

著名數學教育家斯托利亞爾說:“數學教學就是數學語言的教學.”但在實際教學中常將數學教學簡化為解題教學,認為讓學生閱讀思考是浪費時間.其實,數學文本材料是說明性的文字表現,傾向于將復雜的問題情境簡潔地呈現給學生,讓其在簡短的文字中發現所蘊含的數量關系.因此,在數學教學中,教師給予學生一定的時間閱讀、動手畫圖及符號化,生動形象的圖形變化過程是必要的.

師：未知量是什么？

生：3對直線AC與BD,AB與CD,AD與BC是否垂直？

師：已知數據是什么？

師：條件是什么？

圖1

生：如圖1，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折.

師：你需要觀察的是什么？

生：在翻折過程中,是否存在某個位置,使3對直線AC與BD,AB與CD,AD與BC垂直？

評注每個學生都有分析、解決和創造的潛能,都有一種與生俱來的探索、研究與發現的創造本能.教師通過問題串：“未知數是什么？已知數據是什么？條件是什么？把條件的各個部分分開,你能否用不同的方法重新敘述它？”這既是與解題直接相關的認知環節,也是對學生心理的充分把握,讓學生表現出更充足的自信、更認真的思考,使學生更積極地尋找解決問題的思路和答案,培養學生自我發問的審題習慣.

環節2回顧性提問,喚醒思維

師：你知道其他與其有關的題目嗎？

生思索.

師：觀察未知量.以前碰到過類似的題目嗎？

師：未知量是什么(關注目標)？

生：2條直線是否垂直.

師：以前做過線線垂直的題目嗎(提示學生聯想)？怎么判斷線線垂直呢？

生：線面垂直.

師：你能舉一個例子嗎？線線、線面關系出現比較多的簡單幾何體是什么？

生(聯想)：正方體

教師讓學生畫一個正方體,并觀察.圖2中有線線垂直關系嗎？有與此題類似的線線位置關系嗎？以選擇項A中直線AC與BD為例進行說明.

生：圖2中直線BD與A1C垂直.

從1831年法拉第發現了電磁感應以來，人類進入了電器時代。100多年來，科學技術不斷進步，電器設備也越來越多樣化，新型設備的不斷出現，也是對能源的一大挑戰。如今，能源的短缺是全社會共同關注的重點問題，因此從科學發展、可持續發展等方面考慮，電氣工程有必要進行節能設計。

師：你是如何判斷直線BD與A1C垂直的？

生：BD⊥面A1CA,因為直線BD⊥A1A,BD⊥AC.

師：再觀察未知量.在圖像變化過程中直線BD是否垂直于直線AC呢？

圖2 圖3

部分學生受圖2的影響,把矩形ABCD畫成正方形(如圖3),則在翻折過程中直線BD⊥平面AOC.并類比在矩形ABCD中作出與BD垂直的直線AE(如圖4),垂足為點O,在翻折過程中,BD⊥面AOE,則直線BD不可能垂直AC.

圖4 圖5

教師繼續提問：如何判斷直線BD是否垂直于直線AC呢？

生：BD是否垂直AC所在的面.

師：如何判斷線面垂直？

生：線線垂直.

師：與BD垂直的線有嗎？已知數據與已知條件是什么？

生：沒有現成的,需要在面BDC或面ABD內作一條.

學生作出BD的垂線AO,CF(如圖5),在翻折過程中分別與直線AC構成面AOC與面CFA.如果BD⊥AC,則BD⊥面AOC,BD⊥面ACF(這不可能).

評注在教學中,學生已具備解題所需要的知識儲備,只是不知道如何提取、組織與運用.教師的重要任務之一是幫助學生優化已有的知識經驗與認知結構,將“貨源充足”的知識倉庫“組織良好”.此處教師看似“漫不經意”的提問,旨在喚醒學生的思維,尋找問題與知識之間的聯系,促使已有解題經驗的遷移.教師啟發性的、層層遞進的提問,是對主體解題思維活動的反詰,是一種自我意識、自我預測、自我調節與監控,也是隱性而不露痕跡的,這樣學生才感覺到:在自己的思考下獨立解題,收獲成功的自信.

環節3激發性提問,完善思維

師：在翻折過程中直線AB與CD是否垂直？你如何判斷直線AB與CD是否垂直？

生：在翻折過程中,直線CD是否垂直直線AB所在的面.

師：如何找與直線CD垂直的面？

生：先找與直線CD垂直的線——BC與AD.

師：在運動過程中都能垂直嗎？

生：直線BC能,直線AD不能.

師：為什么？

生：在翻折過程中,直線AD與CD的位置關系在改變,而直線BC與CD的位置關系不變.

師：為什么？

生：直線AD與CD在折線的2側,而直線BC與CD在折線的同側.

師：找到與CD垂直的直線BC的目的是什么？

生：在翻折過程中能否與直線AB構成與直線CD垂直的面.

師：能嗎？為什么？

生：能,因為在翻折過程中,點A在面BCD內的射影可以落在邊BC上.

師：為什么？

生：因為ABCD是矩形,所以BC>AB.

至此教師的目的達到了，選擇項B成立，排除了選擇項C,D.

評注對學生的發展而言,解決問題活動的價值不只是獲得具體的結論,它更大的意義是啟迪學生的思維,使思維實現直覺向理性的躍升.教師通過問題串,調動學生對圖形的直觀感知與原先的解題經驗,使學生進一步完善解題思路,使解題思路更加理性與成熟,檢驗每一步的正確性.這樣,學生收獲的將不僅是數學知識,還有“數學思考”的意識和“問題解決”的藝術.

環節4反思型提問,沉積思維

數學教學應重視揭示獲取知識的思維過程,重視對學生回顧與反思意識的培養.學生對重要的數學思想方法的領悟、對數學活動經驗的條理化、對數學知識的自我組織等,都需要一個足夠的探索、交流的活動空間,需要“解題之后的回顧與反思”.

(1)你能改變條件,使存在某一位置,使直線BD與AC垂直嗎？

(2)若把矩形ABCD改為正方形,結果如何？

(3)你能改變條件使3對直線在翻折過程中都有可能垂直嗎？

(4)若只讓直線AD⊥BC,如何改變題設？

(6)圖像在翻折過程中有什么特征？

(7)在解題過程中你用到了所有的數據了嗎？

(8)你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？

其中問題(1)，(2)，(3)本質上是同一個問題.

評注4教學中,用“足”問題資源能提高教與學的有效性.在解題后的“回頭望”,對解題過程加以反思、探討、分析與研究是非常重要的.因為對解題過程的回顧和審視會對題目有更全面、更深刻的理解,既可以檢驗解題結果是否正確、全面,推理過程是否無誤、簡捷,還可以揭示問題之間規律性的聯系,發揮例題、習題的“遷移”功能.

環節5變式拓展,問題延伸

教師不應滿足于一問一答式的低級認知技能,還應讓學生通過歸納推測、類比聯想、改變屬性、追溯過程等方法,對問題進行變更、引申、拓展,讓學生在數學情境中發現新問題,提出新見解.提出問題,是思維創新的過程,是知識的內化與提升的一個重要手段,能夠促進學生智慧生成.因此教學的最后階段,是教師讓學生對題目進行改編.下面是一些成果體現:

(答案:①②③④.)

變式2(以第2個選擇項為背景)

(1)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.將△ABD沿BD折起,使平面ABC⊥平面BCD,在平面ABC內,過點A作AK⊥BC,K為垂足,則BK=______.

圖6

(2)在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,E為AD中點,F為線段ED(端點除外)上一動點,現將△ABF沿BF折起,使平面ABC⊥平面BCD,在平面ABC內過點A作AK⊥BC,K為垂足(如圖6).設BK=t,則t的取值范圍是______.

(2009年浙江省數學高考試題第17題改編)

變式3(1)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.在線段AD上是否存在一點N,當將△ABN沿BN折起至平面ABN⊥平面BCD時,CN⊥AB?

(2)已知矩形ABCD,AB=a,當線段AD長為多少時,在線段AD上存在點N,當將△ABN沿BN折起至平面ABN⊥平面BCD時,CN⊥AB?

(答案:(1)存在;(2)[2a,+∞).)

變式4在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,點E為AB中點,點F在線段AD上,且AF=2.沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥平面BEF.

(1)求二面角A′-EB-C的余弦值;

(2)點M,N分別在線段FD,BC上,若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折,使C與A′重合,求線段BN的長.

(2010年浙江省數學高考試題第20題改編)

2 案例反思

建構主義理論認為,學生是信息加工的主體,是意義的主動建構者.課程標準理念下的高三數學復習課應突出學生知識的意義建構.因此,高三復習教學,不應是教師展示解題的“才藝表演”,更不應只強調靜態數學知識(數學概念、命題、算法、解題技巧等)的獲得,不注重數學思維與思想方法的培養與滲透,使教學成為單純的習題演算操練；數學教學是思維的教學,從這一角度出發,教學就應當給學生更多的時間去思考、更多的機會闡述自己對問題的看法.作為教學活動的組織者,應思考并實踐,如何“讓學生帶著問題輕松步入課堂,在愉快且又適度緊張中學習(探究);又要讓學生帶著新的、更高層次的問題走出課堂,在自由自在中研究(學習)、發展”，讓學生在課堂上主動積極地展示自己的才華智慧.復習課上有一個突出的矛盾,就是時間太緊,既要處理足量的題目,又要充分展示學生的思維過程,但只要教師能充分發揮點撥、啟發、誘導、調控的主導作用,二者是可以兼顧的.由此可見,高三數學復習教學,更應使課堂教學真正成為師生互動、對話式的主體自主探究與自省研究的學習過程.

[1] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平,唐瑞芬,譯．上海：上海教育出版社,1995：1-23.

[2] 俞宏達.數學解題教學中自然而有效的提問方式探析[J]．中學數學,2005(12)：4-7.