相似橢圓系的若干性質

●

(復旦大學附屬中學 上海 200433)

相似橢圓系的若干性質

●姚源

(復旦大學附屬中學 上海 200433)

類似相似橢圓的定義[1,2]，筆者給出相似橢圓系的定義.

定義對于中心相同，離心率也相同的n個橢圓，其方程如下：

…

其中0<λ<1,a>0.

即第i個橢圓的短軸長等于第i+1個橢圓的長軸長(i

圖1 圖2

相似橢圓有如下性質：

性質1從原點向外引一條射線，在第一象限交C1,C2,…,Cn于點A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn).過這些點分別作切線l1,l2，…,ln(如圖2)，則

(1)l1∥l2∥…∥ln；

(2)設li截橢圓Ci-1的長為Li，Ai平分Li；

證明(1)設ki為直線li的斜率，此射線與x軸所成角為θ，則A1(acosθ，λasinθ)，A2(λacosθ,λ2asinθ)，…，An(λn-1acosθ,λnasinθ)，從而

即

k1=-λcotθ.

即

k2=-λcotθ.

…

即

kn=-λcotθ，

因此

k1=k2=…=kn,

故

l1∥l2∥…ln.

(2)設切線li與橢圓Ci-1交于點Bi,Ci，點Bi,Ci的橫坐標分別為xi1,xi2(i

由式(1)，得

(3)

將式(3)代入式(2)，得

(4)

因此點Ai為BiCi的中點，即點Ai平分Li.

(3)由式(4)知

從而

分析此命題若用解析法證明，則需要通過繁瑣的三角化簡，證明十分復雜.在此，筆者運用較為簡潔的幾何法來證明.

圖3 圖4

證明因為在橢圓Ci中，Pi1,Pi2,…Pim唯一確定，所以只要符合題設的Pi1,Pi2,…,Pim存在必唯一.

對于橢圓Ci與Ci-1，從原點向外引一條射線，交Ci,Ci-1于點Ai,Ai-1(如圖4).設Ai(λi-1acosθ,λiasinθ)，Ai-1(λi-2acosθ,λi-1acosθ)，則

又因為

所以

△AiOFi∽△Ai-1OFi-1,

從而

AiFi∥Ai-1Fi-1.

同理可證

△Pi1OFi∽△Pi-l1OFi-1,

△Pi2OFi∽△Pi-l2OFi-1,

…

△PimOFi∽△Pi-lmOFi-1,

從而

故

由此，可以得到一個新的命題：

[1] 姜坤崇.相似橢圓性質又探[J].數(shù)學通訊,2011(18)：36-37.

[2] 姚源.相似橢圓系的一組性質[J].上海中學數(shù)學，2013(6)：48-49.

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