利用f(f(x))=x根的性質巧解2道高考題

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(南昌市外國語學校 江西南昌 330025)

利用f(f(x))=x根的性質巧解2道高考題

●梁懿濤

(南昌市外國語學校 江西南昌 330025)

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A.[1,e] B.[e-1-1,1]

C.[1,e+1] D.[e-1-1,e+1]

(2013年四川省數學高考理科試題第10題)

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數f(x)的二階周期點，如果f(x)有2個二階周期點x1,x2,試確定a的取值范圍；

(3)對于第(2)小題中的x1,x2和a，設x3為函數f(f(x))的最大值點，A(x1,f(f(x1)))，B(x2,f(f(x2)))，C(x3,0)，記△ABC的面積為S(a)，討論S(a)的單調性．

(2013年江西省數學高考理科試題第21題)

這2道試題不約而同地利用二階迭代函數y=f(f(x))的不動點，即f(f(x))=x的根來命題．因為

f(f(x0))=x0?f(x0)=f-1(x0)，

(1)

所以原問題可以轉化為y=f(x)與y=f-1(x)的交點問題，從而得到試題的簡易解法(注：式(1)處f-1(x0)表示滿足f(x)=x0的任意x)．

解答2道試題前，筆者先給出以下4個引理：

引理1函數y=f(x)與它的反函數y=f-1(x)圖像的交點，或者在直線y=x上，或者關于直線y=x對稱地成對出現．

證明設(a,b)是y=f(x)與y=f-1(x)圖像的交點，即

從而

即(b,a)也是y=f(x)與y=f-1(x)圖像的交點．顯然點(a,b)與點(b,a)關于直線y=x對稱,特別地，當a=b時，點(a,b)與點(b,a)重合在直線y=x上．

引理2如果函數y=f(x)是單調遞增函數，那么y=f(x)與它的反函數y=f-1(x)圖像的交點必定在直線y=x上．

證明由引理1，假如y=f(x)與y=f-1(x)的圖像存在不在直線y=x上的交點(a,b)，則(b,a)也是它們交點，從而

若a>b，則由y=f(x)單調遞增，得f(a)>f(b)，即b>a，矛盾；同理若ab，也矛盾,從而假設不成立，y=f(x)與y=f-1(x)圖像的交點必定在直線y=x上．

引理3若x0，f(x0)使得f(x0)及f(f(x0))有意義，且x0滿足f(x0)=x0，那么x0也滿足f(f(x0))=x0．

證明若f(x0)=x0，則f(f(x0))=f(x0)=x0成立．

引理4如果函數y=f(x)是單調函數，且存在x0，使得f(f(x0))=x0，則f(x0)=x0．

證明只需證明y=f(x)單調遞增的情形，y=f(x)單調遞減的情形同理可證．

假設f(x0)≠x0.若f(x0)>x0，則f(f(x0))>f(x0)>x0，與f(f(x0))=x0矛盾；若f(x0)

再運用以上4個引理來解答例1和例2：

ex+x-x2=a．

令φ(x)=ex+x-x2，x∈[0,1]，則

φ′(x)=ex+1-2x.

再令h(x)=ex+1-2x，則

h′(x)=ex-2，

顯然h(x)在[0,ln2]上單調遞減，在[ln2,1]上單調遞增.因此

h(x)≥h(ln2)=3-2ln2>0，

即φ′(x)>0，于是

φ(x)∈[φ(0),φ(1)]=[1,e]，

即a∈[1,e]．故選A.

對例2的分析(1)略；

由f(f(x))=x，得f(x)=f-1(x)．結合引理3和引理4，得

解得

(以下同標準答案，略．)