構造對偶式 巧解競賽題

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(西華師范大學數學與信息學院 四川南充 637002)

構造對偶式巧解競賽題

●高明

(西華師范大學數學與信息學院 四川南充 637002)

構造對偶式是基于對稱思想的一種解題方法，主要利用題目的結構特征，尋找銜接點，構造一個地位相等、結構類似、聯系緊密的對偶式，通過二者的和、差、積、商等運算，架設解題的橋梁，使問題巧妙獲解.

1 構造對偶式，簡算三角值

在一些關于三角函數求值的問題中，通過構造互余對偶式、和差對偶式，常常能達到簡化運算過程，起到化難為易、事半功倍的效果.

例1cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值為______.

(1991年全國高中數學聯賽試題)

分析本題主要考查三角函數的轉化和化簡，常常采用降次的方法進行解決，但運算較為繁瑣.事實上，從整體結構思考，將cos210°+cos250°-sin40°sin80°視為一個整體(令為A)，構造互余對偶式sin210°+sin250°-cos40°cos80°(令為B)，即

A=cos210°+cos250°-sin40°sin80°,

B=sin210°+sin250°-cos40°cos80°,

將2個式子進行和差運算，可得

A+B=2-cos40°,

因此

(2012年全國高中數學聯賽試題)

圖1

解得

從而

評注在對三角函數求值時，通過正弦余弦互余、和差式等結構特征，由目標導向構造對偶式，再進行恰當的運算，從而另辟蹊徑，出奇制勝.

2 構造對偶式，妙證不等式

在證明某些不等式問題時，利用不等式的結構特征，構造對偶式，使問題化繁為簡，巧妙解決.

例3已知a1,a2,…,an都是正數，且其和為1，求證：

(第24屆全蘇數學奧林匹克競賽試題)

A-B=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-a1)=0,

即

A=B.

同時

從而

例4若已知a1,a2,…,an都是正數，且其和為1，求證：

(第6屆河南省高中數學競賽試題)

分析將所證表達式的左邊令為A，由于A具有輪換對稱的特征，于是構造一個地位相等、結構類似、聯系緊密的對偶式(令為B):

將A,B進行和差運算，得

A-B=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-a1)=0,

即

A=B.

從而

評注在多元變量不等式的證明中，抓住題目的條件或結論的結構特征，有技巧地構造一個結構相似的式子，通過整體結構的運算，化整為零，各個擊破，使問題變得清晰可解.

3 構造對偶式，妙解無理式

在解一些含根式的無理方程時，根據無理式的結構特點，構造共軛的對偶式，可達到去除難點、靈活化簡的目的.

例5方程

的解x為______.

(第12屆希望杯高中數學競賽試題)

分析該方程為無理方程，涉及正弦余弦運算，化簡異常復雜，不易直接解出方程的解，解題思維受阻.不妨轉變角度，視

為一個整體，再構造結構類似的對偶式方程

將2個式子進行和差運算，得

從而

6cosx=m2+6m+3，

解得m=0，于是

因此

從而

化簡得

因此

解得

評注對于含無理式的方程，通過構造對偶式，簡化了復雜的結構討論，降低問題的難度，使得解答自然，探索過程更加簡潔，運算更加輕松，巧妙解決問題.

數學競賽試題因其內容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的思想.在教學過程中，教師應有意識地讓學生掌握和運用構造的思想，加深對數學方法的理解,既有助于培養學生的發散思維、收斂思維和邏輯思維能力，又可以讓學生開闊視野,深化解題方法，提高解題技巧，培養創新思維的目的，體現構造思想解決數學問題的美妙.