一道2013年高考試題“秒殺”引發的探究

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(侯集高級中學 江蘇徐州 221121)

一道2013年高考試題“秒殺”引發的探究

●李培穎

(侯集高級中學 江蘇徐州 221121)

(2013年江蘇省數學高考試題第13題)

數學高考結束后，多數學生反映“全卷總體難度不大，時間也夠用，感覺不錯”.其中一些學生還說他們“秒殺”了第13題(倒數第2個填空題).一般來說，江蘇省數學高考試題中第13,14題更注重考查學生的思維品質以及運用數學方法的能力，復雜程度和解題難度都較高，第13題能“秒殺”嗎？在高考所有科目考完后，筆者與部分學生進行了交流，他們的做法如下：

圖1 圖2

學生對題目的理解是：滿足題意的點A到點P之間的最短距離就是點A到點P0的距離，即AP0.這樣的理解貌似合理，但經得起推敲嗎？我們不妨通過建立目標函數求解如下：

(1)

f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2.

①當a<2時，f(t)min=f(2)=2a2-4a+2=8，解得a=-1;

通過嚴密的推導，不難發現，用所謂“秒殺”的辦法得出的結果是錯誤的.

現將例1改編為例2，繼續研究：

圖3

此處求解思路常有以下2種：

思路1(分離變量求最值)

式(2)可變形為

u2-4≥2a(u-2).

①當u=2時，不等式為0≥2a×0，從而a∈R；

②當u>2時，不等式可變形為u+2≥2a，從而a≤2.

綜上所述，a≤2.

思路2(數形結合)

式(2)可變形為

u2-2au+4a-4≥0.

令f(u)=u2-2au+4a-4=u2-4-2a(u-2)，則函數f(u)的圖像恒過定點(2,0)，易得a≤2.即點A橫坐標的取值范圍是(-∞,2].

圖4

對于例2，我們還可以給出幾何解釋：

將例1中的條件一般化，可得：

將例2中的條件一般化，可得：