云來山更佳 云去山如畫——對2013年浙江省數學高考理科第16題的多角度探究

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(杭州市第十一中學 浙江杭州 310014)

云來山更佳云去山如畫——對2013年浙江省數學高考理科第16題的多角度探究

●蔡小雄陳發志

(杭州市第十一中學 浙江杭州 310014)

前蘇聯數學教育家奧加涅說過：很多習題潛在著進一步擴展其教學功能、發展功能和教育功能的可能性.很多數學問題本身看似平淡無奇，但若能挖掘其內涵，適當變化，常常會有意想不到的收獲.2013年浙江省數學高考理科第16題就是這樣一道呈現形式簡潔優美、設問方式平實無奇，但內在積淀深厚、引人入勝的經典好題.通過對這道題目的解法探究、變式拓展、背景揭示，我們會發現一個包羅數學核心本質的大世界，會發現數學橫縱遷移的美妙變化！

1 立足本質，探尋多種解法

本題以解三角形為載體，以邊角關系的轉化為突破口，考查學生對三角函數、解三角形等知識的掌握程度.雖然僅是一道填空題，但題目立意新穎、呈現獨特、內涵豐富、能力要求高.從閱卷情況來看，該題是全卷得分率最低的一道題.很多考生拿到題目后不知從何入手，或者僅停留于問題表面“給角求角”的層次，不能進行邊角關系的轉化，或者對中點這一條件無法進行突破.通過深入分析，不難發現只要準確把握問題本質，我們可以從不同的角度入手得到多種解法.

1.1 利用坐標法

圖1

解法1建立如圖1所示的平面直角坐標系，設A(a,0),B(0,2),M(0,1),則

即

tan∠BAM= tan(∠BAC-∠MAC)=

即

亦即

解得

從而

故

1.2 利用三角函數公式

本題如果從探究角關系進行分析,不難發現∠BAM+∠CAM=∠BAC,因此可以從三角函數兩角和與差的正(余)弦公式入手.

將AC=AMcos(α-β)代入式(1)，化簡可得

同理，由S△ABM=S△ACM可得

式(2)+式(3)，得

sin(2α-β)=1.

注意到α,β的范圍，得

即

因此

1.3 利用余弦定理

解法3設AM=1，sin∠CAM=k(0

在△ABM中,由余弦定理，得

點評題中條件所給的是角的正弦值,不難得到余弦值,而余弦定理正是轉化邊角關系的核心“媒介”，從邊角關系的本質著手很容易找到突破口.

1.4 利用正弦定理

題目所給的條件是關于∠BAM的正弦值,由此聯想利用正弦定理突破.而對于sin∠BAM可以通過構造一個直角三角形表示出相應的邊.

圖2

解法4如圖2，過點B作BD⊥AB交AM的延長線于點D.令BD=1,AD=3,BM=x,AM=y，則

sin∠BMD= sin∠AMC=

在△BDM中，由正弦定理知

即

(4)

又在Rt△ACM中，由

AM2=CM2+AC2，

得

y2=x2+8-4x2=8-3x2,

代入式(4),得

解得

故

點評本題的關鍵是2個未知量如何通過構造方程組來求解：(1)在△BMD中利用余弦定理得到一個方程；(2)在Rt△ACM中運用勾股定理得到另一個方程.

1.5 利用向量知識

(a-b)·b=0，

從而

a·b=|b|2=y2.

因為

從而

x2=3y2，

即

故

點評向量是溝通數與形的完美“結合體”,在三角函數、解三角形、立體幾何、解析幾何中都有向量的身影.尤其是在遇到代數運算較復雜的問題時，利用向量這一工具能起到事半功倍的效果.

1.6 利用三角形相似

圖3

從而

x2y2=x2+y2.

又在Rt△ABC中，4x2+y2=9，兩式消去y，得

x2(9-4x2)=x2+9-4x2，

解得

即

故

點評解法6與解法4有著異曲同工之處，不同之處在于一個是通過正弦定理得到方程，而本題是通過三角形相似得到方程.

1.7 利用勾股定理

圖4

解得

從而

點評本題的關鍵是如何用CM的長x表示出各邊長,并在此基礎上利用勾股定理輕松求得.

2 變式拓展，探究問題本質

通過一道數學試題，若能引導學生從不同方向、不同角度、不同方位進行思考，可以激活學生的思維能力，幫助學生訓練基本技能、基本方法，更重要的是可以開闊學生的思維，培養學生思維的靈活性、發散性、廣闊性和深刻性.本題也可以從“變特殊到一般、變已知為未知、變定值為變量”這3個角度進行變式拓展，從而進一步揭示問題的本質.

2.1 變特殊為一般

圖5

解建立如圖5所示的平面直角坐標系，設A(a,0),B(0,1),M(0,λ),則

從而

tan∠BAM= tan(∠BAC-∠MAC)=

即

化簡得

解得

2．2 變已知為未知

變式2在△ABC中，∠C=90°，點M是BC的中點.若sin∠BAC=m,則sin∠BAM=______.

由余弦定理，知

2.3 變定值為變量

變式3在△ABC中，∠C=90°，點M是BC的中點.若BC=2,AC=a(a>0),則sin∠BAM的最大值是______.

解建立如圖1所示的直角坐標系，設A(a,0),B(0,2),M(0,1),則

從而

3 追本溯源，揭示問題背景

教材是高考命題的源泉，高考命題的主要思想就是“源于教材，又不拘泥于教材”.因此，研究高考試題的設計背景，有利于揭示問題的本質.變式3的原型是人教版《數學(必修5)》第101頁B組的第2題，原題如下：

例2樹頂A離地面am，樹上另一點B離地面bm，在離地面cm的C處看此樹，離此樹多遠時看A,B的視角最大？

當然，還可以進一步探究問題的幾何背景如下：

圖6

已知線段BC的中點為M，直線l經過點C且垂直于BC，點A在直線l上運動，則當且僅當AC2=CM·CB時，∠BAM取得最大值.

分析如圖6，以AB為弦做動圓O,圓O與直線l有交點，記其中一個交點為A，則∠BAM為弦AB所對的圓周角，故要讓∠BAM最大，則圓O的半徑要最小.不難發現當AC與圓O相切時，半徑最小，即∠BAM最大,又由圓的切割線定理知AC2=CM·CB.

知道了這個幾何背景，可輕松解決例1：

通過對問題全方位、多角度、深層次的思考與探索，以不同知識內容為切入口，探索出不同的解決方法，有利于調動學生的學習積極性,激發求知欲,引起興趣,也有利于發展智力,克服思維定勢的束縛，形成創造性、發散性思維的源泉，從而讓問題在解決過程中創新不斷、驚喜不斷！