一道最值題的研究

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(揚(yáng)州中學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225000)

一道最值題的研究

●戚有建

(揚(yáng)州中學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225000)

很多高考題、模考題看起來很平常，實(shí)際上卻豐富多彩，有很大的研究空間和教學(xué)價(jià)值.本文從一道最值題出發(fā)，首先分析錯(cuò)誤解法的原因，然后探討多種正確解法，最后揭示題目的深刻背景．

1 題目展示

題目已知實(shí)數(shù)a,c滿足a2+c2-ac=3，求2a+c的最大值．

2 錯(cuò)解原因研究

由已知條件中a2+c2-ac=3的結(jié)構(gòu)特征容易聯(lián)想到基本不等式，因此很多學(xué)生想用基本不等式來求最值.因?yàn)?/p>

a2+c2-ac=3,

所以由基本不等式得

a2+c2=3+ac≥2ac，

解得

ac≤3，

從而

3 正確解法研究

本題入口較寬，解法靈活多樣，可以從不同的角度切入，極具思維價(jià)值．

分析1已知條件a2+c2-ac=3可以看作二次方程，只不過有2個(gè)變量，我們可以將其中一個(gè)看作主元，然后從一元二次方程的角度來考慮．

解法1令2a+c=m，則

c=m-2a，

代入a2+c2-ac=3得

7a2-5ma+m2-3=0.

因?yàn)榇朔匠逃薪猓驭ぁ?，即

(5m)2-28(m2-3)≥0，

解得

分析2觀察已知式和目標(biāo)式的次數(shù)特征，可以考慮比值換元．

a2(k2-k+1)=3，

即

點(diǎn)評(píng)上面的解法中通過比值換元引入?yún)?shù)k，將二元化歸為一元，成功實(shí)現(xiàn)了減元，從而使得問題變得容易處理．

分析3觀察已知條件a2+c2-ac=3的結(jié)構(gòu)特征，可以聯(lián)想到余弦定理，問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．

a=2sinA,c=2sinC,

從而 2a+c= 4sinA+2sinC=

分析4觀察已知條件a2+c2-ac=3的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)可以先配方然后用三角換元處理．

解法4由a2+c2-ac=3得

分析5觀察已知條件a2+c2-ac=3的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)可以先配方然后用代數(shù)換元處理．

解法5由a2+c2-ac=3得

此時(shí)

2a+c=2x+4y，

點(diǎn)評(píng)解法5中通過換元將問題轉(zhuǎn)化為圓錐曲線中的最值問題，這引起了我們的反思:二次方程a2+c2-ac=3表示什么曲線呢？是否就是橢圓？

4 背景研究

圖1

筆者借助幾何畫板畫出了方程x2+y2-xy=3表示的曲線，圖像如圖1所示，發(fā)現(xiàn)很像橢圓，只不過將標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的橢圓進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)而已．

那么將此曲線旋轉(zhuǎn)回標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，方程是什么？是橢圓嗎？

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是旋轉(zhuǎn)前曲線上任一點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的坐標(biāo)為P′(x′,y′)，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)公式得

代入原方程x2+y2-xy=3，得

此時(shí)