歸納探路 揭示本質——一道壓軸填空題的解題教學分析

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(安豐中學 江蘇東臺 224221)

歸納探路揭示本質——一道壓軸填空題的解題教學分析

●崔志榮

(安豐中學 江蘇東臺 224221)

1 講與不講的討論

在一次高三檢測考試中，筆者遇到了這樣一道壓軸填空題：

例1已知實數a,b滿足：a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，則a+b=______.

筆者所任教學校800多名高三學生，解答正確的不足20人，其正確率幾乎為0，筆者所教的2個班中，共2人正確.筆者私下找這2名學生了解答題情況，他們表示不會做，是胡亂猜到答案的.在接下來的集體備課中，備課組在討論這份試卷的評講問題時，又談到了該題講與不講的問題，現回憶整理了當時部分教師的看法：

教師A：例1的難度很大，學生的正確率十分低，我認為可以放棄這道題的評講，不要浪費時間.試想一下，我們講了這道題之后，能保證產生什么效益？能保證以后再碰到類似的問題，學生就會做嗎？

教師B：例1的難度確實很大，但也可以評講一下，讓班上少數成績好的學生了解一下方法，對他們以后的解題可能會有幫助，當然，我們不要期望評講了這道題后會帶來多大的效益，對95%的學生來說，是沒有用的.

教師C：教師A與教師B的觀點基本上是一致的，講與不講沒有太大的區別.我認為如果要講，也不要花太多的時間，讓幾個學生了解一下方法即可，我覺得可以這樣辦，找幾個成績好的學生，與他們單獨談一談解題方法，課堂上不講.

對例1的評講問題，筆者在集體備課會上思考沒有成熟，也就沒有表態發言.但講與不講的問題，會后筆者仍在繼續思考，筆者也同意以上幾位教師的觀點，講了之后，如果不能帶來什么效益，確實不如不講；如果要講，那么就要產生效益.現在的問題是能否通過評講產生效益呢？是否可以從解題教學上下功夫,得出這類壓軸題的處理策略，讓學生的思維得到鍛煉，以對大多數學生今后再碰到類似的問題有幫助呢？為此，筆者對例1的解題教學作了一個優化設計，并選擇了相關試題對學生進行鞏固訓練.現將教學過程整理成拙文，與讀者進行交流、研討.

2 解題教學的分析

2.1 函數的構造

對于條件a3-3a2+5a=1與b3-3b2+5b=5，如何構造函數？大多數學生往往會構造函數f(x)=x3-3x2+5x，從而f(a)=1,f(b)=5，這時教師應引導學生:怎樣構造出更好的函數，使f(a)與f(b)有較強的聯系？可以適當地點撥學生，最終目的是構造出函數f(x)=x3-3x2+5x-3，從而使得f(a)=-2且f(b)=2，但學生隨后發現函數f(x)不是奇函數，這時教師還要繼續給學生指明方向，函數值f(a)與f(b)為相反數，接下來我們解決問題的關鍵是什么呢？學生自然會想到要研究函數f(x)的性質，教師應追問：如何發現函數f(x)的性質呢？

2.2 性質的發現過程

如何發現函數f(x)=x3-3x2+5x-3的性質？是歸納法！在教學中，教師應指引學生如何發現問題的一個解題策略：先猜后證，并且要強化此解題策略，因為大多數學生只有在含有探究字眼的題目中，才能想到運用此策略.

在這次教學中，筆者首先用問題引導學生，我們在高一學習指數函數、對數函數時，是如何得到這2個函數的性質的？學生大都會答：描點法.繼而又問：通過先描出函數圖像的部分點，得到函數圖像，從而發現了函數的性質，這里用了什么樣的數學方法？通過引導，學生就知道歸納法了，還可進一步強調，對一些特殊的數列如何發現它的規律.學生容易回答:是由a1,a2,a3等歸納出來的.如此學生自然而然就會處理了，他們能求出f(0)=-3，f(1)=0,f(2)=3,f(3)=12,f(4)=33，可能有少數學生需要教師點撥，提示他們再求出f(-1)=-12,f(-2)=-33,從而師生共同發現了函數f(x)具有關于點(1，0)中心對稱的性質，因此a+b=2.

2.3 本質的揭示過程

通過歸納法，學生發現了函數的性質，再揭示問題的本質就不困難了，可以從下面3個角度引導學生進行證明.

方法1(對稱中心的證明)

f(1+x)+f(1-x)=

(1+x)3-3(1+x)2+5(1+x)-3+(1-x)3-

3(1-x)2+5(1-x)-3=

2[(1+x)2-(1+x)(1-x)+(1-x)2]-

3(1+x)2-3(1-x)2+4=

-2(1+x2)-2(1-x2)+4=0.

總結函數f(x)關于點(m,n)對稱，即

f(m+x)+f(m-x)=2n.

方法2(與二項式定理聯系)

結合二項式定理，考慮系數關系.由于x3,x2的系數為1,-3,從而聯想到(x-1)3的二項式系數，于是可將函數的系數配成

f(x)=x3-3x2+3x-1+2x-2=

(x-1)3+2(x-1).

函數f(x)是由奇函數y=x3+2x向右平移1個單位得到的，它關于點(1，0)中心對稱.

這個處理方法比較簡潔，但不容易想到，需要教師合理引導.

方法3(運用平移的手段與奇函數聯系)

由歸納容易得到函數f(x)關于點(1,0)中心對稱，而奇函數是關于原點對稱的，這說明只要將函數f(x)向左平移1個單位，就可得到奇函數.于是，由函數f(x)的解析式，可轉化到函數

g(x)= (x+1)3-3(x+1)2+5(x+1)-3=

x3+2x

為奇函數，故函數f(x)關于點(1，0)中心對稱.

教師由此說明命題者是怎樣設計這道試題的:先選擇了奇函數g(x)=x3+2x，然后將其向右平移1個單位后得到函數f(x)=x3-3x2+5x-3,關于點(1，0)對稱，最后運用函數值f(a)=-2，f(b)=2，整理得出了條件，要求學生求出a+b的值.

命題者的高明之處就是把函數的性質隱藏在平移中，讓我們不容易看出來.

2.4 鞏固的教學過程

為了解學生對這道壓軸填空題評講后的掌握程度，也為了進一步強化歸納法在解題中的策略性應用，筆者通過反復尋找，選取了2012年四川省數學高考理科試題第12題,讓學生當場練習反饋.

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大多數學生能用歸納法得到答案，投影展示一位學生的解答：

由題意可求出

[f(a3)]2-a1a5=

教師追問：能不能揭示這道高考題的本質呢？也有不少學生想到了函數的轉換：

由f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π，得

f(a1)-π+f(a2)-π+…+f(a5)-π=0，

g(x)=2x+sinx.

g(b1)+g(b2)+…+g(bn)=0，

教師點評與原題一樣，通過歸納法發現了例2中函數的性質，于是有些學生就有目的地將原函數進行轉換，最終揭示了該題的本質，是命題者將一個單調遞增的奇函數通過左右、上下平移形成的新函數，再結合等差數列的對稱性命制而成的.

3 2點教學感悟

(1)不能忽視數學歸納猜想能力的教學培養.例1與例2從考查的要求來看，考生只需具有大膽歸納猜想處理手段即可.從大的方面來講，數學歸納猜想能夠讓我們發現問題，給數學的持續發展提供保障；作為高中數學的教與學，要培養學生數學歸納猜想的意識，培養學生數學歸納猜想的方法，也只有如此，才能讓學生發現新的數學結論，才能真正激發他們的學習興趣，學習才能輕松快樂.

(2)教師要把解題經驗與學生的思維活動銜接起來.長期的教學活動，使得教師往往具有豐富的解題經驗，很多題目一拿到手，立即就能看出問題的本質，很快就能找出解決問題的辦法，迅速得出結論.但這些問題對學生而言，都是陌生的，要從零開始思考.教學中，如果不能把教師的解題經驗與學生的零思考銜接好，就會使部分學生跟不上學習步伐,喪失學習興趣,學習產生困難.作為教師，要站在學生的思維起點上看問題,充分了解學生的思維過程,充分估計學生在解決問題時可能遇到的困難，再結合自身解題的優勢，設計出合理的教學過程，以突破學生的思維障礙，從而達到最佳的教學效果.