新課改中“數形結合”應用的一點思考

宋軍梅

摘 要：數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，解決數的問題，或將圖形信息全部轉成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論.就高中數學中常見的幾種類型題的解題方法做了一些對比，突出數形結合思想的特征.

關鍵詞：數形結合；函數圖象；應用

數形結合是通過“以形助數”或“以數助形”，把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，解決問題的一種數學思想方法.它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數學解題中具有極為獨特的策略指導與調節作用.

具體地說，數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，解決數的問題；或將圖形信息全部轉化成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論.

數形結合應用廣泛，不僅在解決選擇題、填空題時顯示出它的優越性，而且在解決一些抽象數學問題中常起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”，但“以數解形”在近年高考試題中也得到了加強，這種發展趨勢在我幾年來的新課改教學中也深有體會.

下面就以下幾種常見題型結合自己的教學感受做一點初步探討。

一、解決集合、函數問題

利用韋恩圖、數軸及常見函數圖象

例1 設A=x|-2≤x≤a，B=y|y=2x+3且x∈A，C={z|z=x2且x∈A}，若C？哿B，求實數a的取值范圍.

點撥 解決集合問題首先應看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為數學語言，進而分析條件與結論特點，再將其轉化為圖形語言，利用數形結合的思想來解決.

【解析】∵y=2x+3在[-2，a]上是增函數，

∴-1≤y≤2a+3，即B=y|-1≤y≤2a+3，

作出z=x2的圖象，該函數定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下：

（1）當-2≤a≤0時，a2≤z≤4，

即C=z|a2≤z≤4，

要使C？哿B，必須且只需2a+3≥4，得a≥■，與-2≤a<0矛盾.

（2）當0

必須且只需2a+3≥4

0≤a≤2，解得■≤a≤2.

（3）當a>2時，0≤z≤a2，即C=z|0≤z≤a2，要使C？哿B，必須且只需a2≤2a+3

a>2，解得2

（4）當a<-2時，A=Φ，此時B=C=Φ，則C？哿B成立，綜上所述，a的取值范是（-∞，-2）∪[■，3].

【規律小結】 （1）解決本題的關鍵是依靠一元二次函數在區間上的值域求法確定集合C，進而將C？哿B用不等式這一數學語

言加以轉化，借助數形結合思想解決.

（2）韋恩圖、數軸，不僅可以使各集合之間的相互關系直觀明了，而且也便于將各元素的歸屬確定下來，使抽象的集合問題通過直觀形象的圖形解決，為問題的解決創設了有益的情境.

二、解決方程、不等式問題

利用數軸法和圖象法來解決

例2 若方程1g（x2+20x）-lg（8x-6a-3）=0有惟一的實數解，求a的取值范圍.

【解析】原方程等價于x2+20x=8x-6a-3

x2+20x>0

即x2+12x+3=-6a（x>0或x<-20），

由數想形，

令C：y=x2+12x+3=（x+6）2-33（x>0或x<-20），

再令l：y=-6a，

原方程有惟一解，

即直線l與拋物線C有惟一交點，從圖中可知，

■

當x=-20時，y=163；當x=0時，y=3，∴當3<-6a≤163，

即-27■≤a<-■時，原方程有惟一實數解.

【規律小結】（1）解決這類問題時要注意準確畫出函數圖象，注意函數的定義域.

（2）用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩個函數的圖象，由圖求解.

三、解決三角函數、平面向量問題

（1）借助單位圓及三角函數線和三角函數的圖象及性質來

解決；

（2）聯想一些特殊的圖形，用向量的有關概念及運算解題。

例3 設關于θ的方程■cosθ+sinθ+a=0在區間（0，π）內有相異的兩個實根α、β.

（1）求實數a的取值范圍；（2）求α+β的值.

點撥（1）若令x=cosθ，y=sinθ，則由題設知直線l：■x+y+a=0，與圓x2+y2=1，有兩個不同的交點（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ），運用直線與圓的位置關系可求得a的取值范圍及α+β的值.

（2）可將原方程化為sin（θ+■）=-■，原問題可轉化為三角函數y=sin（x+■）的圖象與直線y=-■有兩個不同的交點時，求a的范圍及α+β的值.

【解析】（1）原方程可化為sin（θ+■）=-■，作出函數y=sin（x

+■）（x∈（0，2π））的圖象.由圖知，方程在（0，2π）內有相異實根α，β的充要條件是…

【規律小結】（1）此題若不用數形結合法，用三角函數有界性求a的范圍，不僅過程繁瑣，而且很容易漏掉a≠-■的限制，而從圖象中可以清楚地看出當a=-■時，方程只有一解.

（2）在解決三角函數的有關問題時，若把三角函數的性質融于函數的圖象之中，將數（量）與圖形結合起來進行分析、研究，可使抽象復雜的數量關系通過幾何圖形直觀地表現出來.

例4 在直角坐標系xOy中，■，■分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，■=2■+■，■=3■+k■，則k的可能值有（ ）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

所以k的可能值個數是2.

解法二：（數形結合）如圖，將A放在坐標原點，則B點坐標為（2，1），C點坐標為（3，k），所以C點在直線x=3上，由圖知，只可能A、B為直角，C不可能為直角.所以k的可能值個數是2.圖形直觀地表現出來，這是解決三角函數問題的一種有效的思維策略.

【規律小結】幾何圖形向量化，向量問題坐標化，運用向量坐標運算解決幾何中的共線、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數運算，把定性問題轉化為定量問題，大大降低了解題難度.

四、解決解析幾何問題

在解析幾何中的一些最值、定值等問題時，常根據圖形的性質結合相關的定義進行轉換，使問題得到快速解決.

例5 已知P為拋物線y=■x2上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標是（2，0），則PA+PM的最小值是_____.

【解析】如圖，拋物線y=■x2，即x2=4y的焦點F（0，1），記點P在拋物線的準線l：y=-1上的射影為P′，根據拋物線的定義知，

【規律小結】在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

（1）要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；

（2）要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；

（3）要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；

（4）精心聯想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，便于問題求解.作圖時，圖形相對位置不準確，易造成結果錯誤.

數形結合與數形轉化的目的是為了發揮形的生動和直觀性，發揮數的思路的規范與嚴密性，兩者相輔相成，揚長避短.數形結合絕不是一種孤立的解題技巧，它從一個側面反映了數學的本質特點，這是一種重要的數學思想方法，它的應用非常廣泛。

（作者單位 吉林一中）