基于中軸變換的刀具優化選擇與刀具路徑規劃

巴 文 蘭， 曹 利 新

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引 言

近10年間，計算機集成設計、制造技術有了快速的發展，在許多CAD／CAM軟件中可以完成復雜幾何體的構造、刀位規劃、干涉檢驗、G代碼生成.然而，現有的CAD／CAM軟件仍然存在著一些不足，如目前的CAD／CAM系統只支持針對單一尺寸的刀具生成給定區域的加工刀具路徑，并要求用戶選擇刀具尺寸.迫于無奈，編程人員不得不做出一些主觀的、保守的選擇，這將導致加工時間變長、加工成本提高，特別是給定區域內包含瓶頸區域或邊界曲線具有較小的曲率半徑時.隨著加工中心中快速換刀裝置的出現，采用多種尺寸刀具加工模具型腔等工件成為可能.

對于模具型腔的2軸半加工，通常采用平頭刀對模具毛坯進行分層粗加工，之后再利用球頭刀對其進行精加工.粗加工要去除毛坯上大部分加工余量，為了提高加工效率，粗加工應盡可能采用較大直徑的刀具，這樣可以有效地縮短刀具切削路徑的長度，同時直徑大的刀具剛度高，切削過程的穩定性好，可見刀具尺寸的優化選擇和刀具路徑的合理規劃對于提高加工效率、降低加工成本至關重要.目前，針對刀具尺寸選擇的研究相對較少，Marshall等[1]提出了基于幾何干涉檢驗的單一刀具尺寸的選擇方法，即找出給定加工區域中無干涉的最大內接圓，刀具直徑不能超過該圓的直徑.Bala等[2]提出了2軸半模具加工的兩把刀具尺寸確定方法，較小的刀具按模具輪廓的最小曲率半徑選取，而較大的刀具則應使該刀具加工后剩余的未加工區域可被直徑較小的刀具清根加工完成.1997年，Gau[3]針對模具型腔的2軸半粗加工，提出了Voronoi山的概念，并給出了確定刀具尺寸優化集的動態規劃方法，該方法直觀地描述了給定刀具的可行域即為給定刀具半徑決定的截平面與被加工區域邊界輪廓的Voronoi山的交線，這一方法雖然非常直觀，但涉及形成Voronoi山的直紋面與平面的求交過程，計算量較大.

給定區域的中軸變換結果包含著豐富的幾何學信息，對于給定平面內的封閉區域，可以用其邊界曲線來描述，也可以通過中軸變換得到的中軸線和中軸變換圓來描述.前者從封閉區域的外部描述給定區域，后者則從封閉區域的內部描述該區域.Cao等前期曾對平面域中軸變換的理論與算法進行過深入研究[4－6]，主要內容包括:應用微分幾何學中活動標架和相伴曲線方法，建立了邊界曲線與中軸線的法向映射關系、尺度變換及曲率之間的內在聯系，構造了一種新的計算中軸線的軌跡跟蹤算法，克服了目前中軸線的近似算法和迭代算法所帶來的缺陷；在跟蹤算法的基礎上，提出了中軸變換的兩切點圓精確算法和計算分叉點的三切點圓精確算法；研究了中軸變換圓沿中軸線運動的包絡曲線計算過程，即中軸變換的反問題；進一步研究發現平面封閉域內中軸線上的點滿足到邊界曲線的最小距離最大化的特性，即鞍點特性，它揭示了中軸變換的本質屬性，進而建立了平面域中軸變換鞍點規劃模型，提出了相應的解算方法，形成與前面算法相平行的另一種中軸線計算方法.充分挖掘中軸變換結果中所蘊涵的信息可以解決工程中的一系列關鍵問題，如Smith等[7]針對數控加工的截平面方法，提出了一種利用中軸變換優化選擇平行平面方向的算法.Elber等[8]利用中軸變換理論，提出了適合模具型腔高速數控加工的刀具路徑規劃方法.本文試圖利用中軸變換思想來解決模具型腔加工中的刀具尺寸優化選擇問題.

1 基于中軸變換的刀具尺寸優化選擇方法

利用中軸變換算法[4－6]，可以得到平面封閉區域中軸線上的一系列離散點，包括端點、正常點和分叉點.設給定平面Π0內的封閉區域Ω，其中軸線為M(X(t)，Y(t))，相應的半徑函數為r(t)，t為中軸線的曲線參數.若將半徑函數r(t)看作中軸線M的Z坐標，則可用三維空間曲線M＊來表示中軸變換，如圖1所示.這些三維空間曲線在平面上的投影則對應中軸線M，三維空間曲線M＊的Z坐標分量決定了平面Π0上對應區域的尺度大小，Z值愈大，表示該區域的中軸變換圓半徑愈大，加工時可以采用直徑較大的刀具而不會發生干涉；相反，Z值愈小，對應平面區域的中軸變換圓半徑也愈小，只能采用直徑較小的刀具加工該區域.傳統的數控加工一般按照不發生干涉的最小曲率半徑選擇刀具尺寸，進而生成相應的刀具路徑，因此切削路徑較長、效率低、成本高.本文在中軸變換的基礎上，根據被加工區域的大小選擇合適的平頭銑刀刀具尺寸，進而獲得優化的數控加工刀具路徑.具體地說，將一個平面封閉區域的加工分為粗加工、清角加工和清根加工3個步驟.粗加工階段選擇直徑較大的刀具，完成平面封閉區域內大部分余量的切削；清角加工主要針對粗加工殘留下的不能加工區域，逐次減小刀具直徑，完成封閉區域內細長區域的加工；清根加工按照封閉輪廓曲線的最小曲率半徑選擇刀具尺寸，完成邊界的加工.

為了實現下文所提的基于刀具尺寸優化選擇的刀具路徑規劃，或者為了計算給定尺寸刀具的可加工范圍，均需要對三維中軸線與給定高度平面的交點進行計算，因此，應將中軸線上的離散點用曲線方程來表示，本文采用常用的三次B樣條插值方法.考慮到給定區域的中軸線在分叉點處，中軸線的一階導數、二階導數等均不連續，因此分叉點兩側的中軸線必須分段表示.根據中軸線上端點和分叉點的個數，確定用幾段B樣條插值曲線來表示中軸線.如圖1所示，需要5段B樣條插值曲線來表示該矩形的三維中軸線.

圖1 平面給定區域的中軸線與半徑函數Fig.1 Medial axis and radial function for a closed planar domain

2 粗加工

對于給定區域的數控加工刀具尺寸選擇來說，通過中軸變換可以更加深入地認識封閉區域本身，如給定封閉區域的最大中軸變換圓直徑決定了數控加工中不發生干涉的最大刀具直徑.若刀具直徑Dc超過該最大中軸變換圓的直徑Dmax，則會引起干涉，因此Dc≤Dmax；相反，若粗加工刀具直徑太小，則切削行距減小，刀具切削路徑變長，影響加工效率.同時由于刀具直徑小、剛度低，切削力引起的變形將增大，若通過減小切削用量來控制變形，將會進一步降低加工效率.

從數控加工刀具路徑規劃的角度來看，經常需要知道某加工區域在給定刀具直徑下，不發生干涉的刀具切削路徑和刀具沿該切削路徑運動的覆蓋范圍，即加工區域.這一問題相當于用平行于底面且高度等于平頭銑刀刀具半徑的平面Π截取圖1中的三維空間曲線，平面Π之上的三維空間曲線則描述了給定尺寸刀具的可加工范圍，即平面Π之上的三維空間曲線所對應的中軸變換圓沿其中軸線運動所覆蓋的區域，該加工范圍的邊界曲線為C，如圖2所示.若粗加工刀具直徑Dc滿足不等式1≤Dmax／Dc≤2，則只需一個環切行程即可完成相應的粗加工工作，如圖3(a)所示，Dmax＝50mm，Dc＝30mm，圖中給出了半徑函數大于等于刀具半徑的中軸線以及中軸變換圓的包絡.圖3(b)表示刀具沿包絡線的等距線(圖中虛線)運動，一次切削行程即可覆蓋整個粗加工區域(圖3(b)中陰影部分)，等距距離為刀具半徑.若刀具直徑Dc滿足不等式Dmax／Dc＞2，則給定的封閉區域需多次切削行程才能完成，如圖3(c)所示，Dmax＝50mm，Dc＝10mm，若取加工行距為刀具直徑，則粗加工需3次切削行程，刀具路徑為邊界曲線C按刀具半徑生成的等距線.

圖2 刀具尺寸與中軸線的關系Fig.2 Relations between cutter′s size and medial axis

圖3 給定尺寸刀具的可加工范圍Fig.3 Accessible area of given sized cutter

對圖3(c)進行局部放大，如圖4所示，可以發現行距為刀具直徑時，在切削路徑的轉角處存在未切削區域.影響未切削區域大小的因素有刀具半徑R、加工行距H和轉角α，如圖5所示.為了不存在未切削區域，這三者間的關系應滿足:由上式可見，α愈小，未切削區域愈大，因此相應的加工行距愈小.該未切削區域除了可以通過減小行距的方法消除外，也可通過補刀加工來完成，即先按照給定行距進行環切加工，之后對殘留的未切削區域進行補刀.由于未切削區域一定發生在中軸線上，如圖3(c)所示，刀具沿著中軸線運動即可完成補刀切削.應當指出，未切削區域不同于前面提到的不能加工區域，不能加工區域不能通過減小加工行距或改變切削路徑完成，只能采用直徑較小的刀具在后續的加工中完成.

圖4 影響未切削區域大小的因素Fig.4 Uncut areas and related factors

圖5 無未切削區域的最大加工行距Fig.5 Maximum pass interval for non－uncut area

總之，為了提高粗加工的加工效率，在不發生干涉的前提下，刀具直徑盡可能取較大值.若粗加工刀具直徑的選擇范圍為Dmax／2≤Dc≤Dmax，Dc通常取該范圍內的標準值，則一次切削行程即可覆蓋封閉區域的主要部分(最大中軸變換圓附近區域)；若Dc＜Dmax／2，則粗加工需要多次切削行程，同時要考慮未切削區域的處理；若Dc＞Dmax，則會引起加工干涉.

3 單向清角加工與清根加工

粗加工后，在封閉區域的轉角或中間瓶頸處殘留材料，需要進一步切削，該區域稱為前次刀具不能加工區域，即封閉區域中前次刀具不可達區域，如圖3所示的4個轉角處，需要通過清角加工來完成.清角前需要計算前次使用刀具所殘留的不能加工區域的大小，即給定加工區域去掉前面刀具的已加工區域.對于每個轉角區域，若采用一般的環切法清角，需計算該區域的最大中軸變換圓，如圖6(a)，并選擇不發生干涉的刀具直徑，按環切法規劃刀具路徑，這種方法如同上文的粗加工策略，為了不產生干涉并一刀完成該區域的切削，需要重新進行中軸變換，而且環切后又會留下更多的不能加工區域需要清角，如圖6(b).顯然，這種方法過于復雜.

圖6 環切法清角Fig.6 Cleaning the corner by loop method

本文提出一種單向清角策略，如圖7所示，對于給定清角區域，刀具從一側進去，從另一側出來，刀具路徑順著清角輪廓的邊界進行.為了選擇合適的刀具尺寸，需要計算中軸線與邊界曲線的交點P，如圖7(a)所示，設該點所對應的中軸變換圓的直徑為Dmax1，以此作為確定清角加工刀具尺寸的依據.為了能夠一次切削完成清角余量，本文取清角刀具的直徑Dc1滿足不等式Dmax1／2≤Dc1＜Dc，Dc為粗加工的刀具直徑或前次清角加工的刀具直徑，從圖7(b)可以看出，Dc1愈小，一次切削可加工的區域就愈大，圖7(b)中取Dc1＝Dmax1／2，陰影部分為本次清角可切削部分.對于粗加工后存在多個角需要清理的情況，為了避免頻繁換刀，且刀具直徑變化不大的情況，可以計算中軸線與各個轉角處邊界曲線的交點P1，…，Pn，取各點所對應的中軸變換圓直徑的最大值max(Dmax1，Dmax2，…，Dmaxn)作為本次清角的刀具直徑.重復上述操作，即可完成全部轉角和細長區域的清角加工.

圖7 單向清角Fig.7 Cleaning the corner by one way method

清角加工后需要對輪廓邊界進行清根加工，以封閉邊界曲線的最小凸曲率半徑的圓整值作為清根刀具半徑，以邊界曲線的等距線作為刀具路徑，即可實現最終的清根加工.

上述粗加工、清角加工和清根加工給出了刀具尺寸選擇所需滿足的不等式，考慮到實際生產中刀具尺寸已標準化，需將滿足上述不等式的刀具尺寸圓整為標準刀具尺寸值，便于在刀具集中選擇最佳刀具.

4 刀位點的計算與連接／切削路徑長度

如前所述，加工區域為兩平面所夾空間曲線對應中軸變換圓的覆蓋范圍，其邊界曲線為中軸變換圓沿中軸線運動的包絡線，設給定平面域的中軸變換為r(t)＝ (x(t)y(t)r(t))，由文獻[4]，則可得中軸變換的包絡線方程:

式中:i、j為平面內固定直角坐標系的單位矢量；x′、y′、r′分別為中軸線的坐標x、y和半徑函數r對參數t的一階導數.“±”和“”表示中軸線上參數為t的一個點，對應包絡線上兩個特征點.中軸變換圓的包絡線形成了邊界曲線；刀具運動軌跡即為邊界曲線的等距線，等距距離為刀具半徑，其方程可表示為

式中:R為刀具半徑.r－R≥0，則等距線不會出現自交現象.為了形成連續的刀具切削路徑，需對這些特征點按照相鄰點距離最短原則進行排序，最終形成刀具切削路徑.

5 數值算例

算例1 給定邊界曲線為具有兩個孔洞的鵝掌楸樹葉的邊界.該封閉區域的中軸線和中軸變換圓如圖8所示，最大中軸變換圓直徑為46.856 mm，邊界曲線的最小凸曲率半徑為0.658mm.以中軸線的端點或分叉點作為曲線端點，將中軸線和半徑函數表示為三維B樣條曲線段，結果如圖9所示.利用前面提出的加工策略，確定該封閉區域粗加工的刀具直徑為24mm，清角加工的刀具直徑分別為10、5、2mm，清根加工的刀具直徑為1.3mm.圖10(a)為粗加工階段的刀具覆蓋范圍；圖10(b)～(d)中的紅色、綠色和黃色部分分別為3次清角加工所對應的刀具覆蓋范圍；圖10(e)中的紫色為清根加工對應的刀具覆蓋范圍；圖10(f)為3個加工階段所對應的刀具路徑.

圖8 算例1中軸線與中軸變換圓Fig.8 Medial axis and medial axis circles for Example 1

圖9 算例1中軸線與半徑函數的三維表示Fig.9 3Drepresentation of medial axis and radial function for Example 1

圖10 算例1多刀加工順序與刀具路徑Fig.10 Machining sequence of multicutters and cutting tool－path for Example 1

算例2 給定邊界曲線為楓樹葉的邊界.該封閉區域的中軸線和中軸變換圓如圖11所示，最大中軸變換圓直徑為80.434mm，邊界曲線的最小凸曲率半徑為0.523mm.以中軸線的端點或分叉點作為曲線端點，將中軸線和半徑函數表示為三維B樣條曲線段，結果如圖12所示.利用前面提出的加工策略，確定該封閉區域粗加工的刀具直徑為41mm，清角加工的刀具直徑分別為17、6、2mm，清根加工的刀具直徑為1mm.圖13(a)為粗加工階段的刀具覆蓋范圍；圖13(b)～(d)中的紅色、綠色和黃色部分分別為3次清角加工所對應的刀具覆蓋范圍；圖13(e)中的紫色為清根加工對應的刀具覆蓋范圍；圖13(f)為3個加工階段所對應的刀具路徑.

圖11 算例2中軸線與中軸變換圓Fig.11 Medial axis and medial axis circles for Example 2

圖12 算例2中軸線與半徑函數的三維表示Fig.12 3Drepresentation of medial axis and radial function for Example 2

圖13 算例2多刀加工順序與刀具路徑Fig.13 Machining sequence by multicutters and cutting tool－path for Example 2

6 結 論

(1)在對給定加工區域進行中軸變換的基礎上，將由分叉點分開的中軸線和半徑函數進行分段B樣條曲線插值，通過計算給定刀具半徑確定的截平面與中軸變換得到的三維空間曲線族的交點，確定相應尺寸刀具的加工可行域并規劃刀具運動軌跡.該方法不需要構造被加工區域邊界輪廓的Voronoi山，同時避免了計算多尺寸刀具確定的截平面與被加工區域邊界輪廓的Voronoi山的求交過程，以線面求交代替傳統的面面求交，方法簡單、效率高.

(2)以最大中軸變換圓為依據，確定粗加工的刀具直徑.若最大中軸變換圓的直徑與刀具直徑的比值介于1～2，則只需一次切削行程即可完成相應的粗加工工作；若該比值大于2，則給定的區域需多次切削才能完成，多次切削加工中可能存在的未切削區域可通過刀具沿中軸線補刀來完成；若該比值小于1，則必發生加工干涉.

(3)根據粗加工后殘留未加工區域對應的中軸變換結果，提出一種單向清角方法.該方法通過計算中軸線與已加工區域所對應的邊界曲線的交點，將該點所對應的中軸變換圓的直徑作為確定清角加工刀具尺寸的依據；清根加工的刀具半徑則取封閉邊界曲線的最小凸曲率半徑的圓整值.

(4)對于給定區域內包含瓶頸區域或邊界曲線具有較小的曲率半徑的加工區域，利用本文所提方法可以優化選擇數控加工各階段的刀具尺寸，所生成的刀具切削路徑長度將大幅度地縮短，從而提高加工效率.

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