超聲滾壓裝置中變幅器的仿真設計

張 旭 李新和 何霞輝

(中南大學機電工程學院，湖南長沙 410083)

隨著科學技術的進步，許多產品對零件表面質量的要求越來越高。為提高零件的表面質量，在表面光整技術方面出現了許多新工藝、新技術。由于功率超聲對金屬塑性加工具有表面效應和體積效應，能使工件表面粗糙峰軟化和熔化，具有改善加工工具與工件的表面接觸狀態的效果。隨著超聲加工技術的發展，將超聲頻振動引入到滾壓加工工藝中，進行表面光整加工，已成為表面光整加工的新技術。

超聲滾壓加工是在滾輪上施加功率超聲振動，滾輪將壓力和超聲沖擊振動傳遞給加工中的工件表面，在超聲沖擊和靜壓力聯合作用下，對工件表面進行高速撞擊，使工件表面產生均勻的塑性變形，從而獲得較高的表面質量。與常規滾壓加工相比，超聲滾壓能夠減小滾壓載荷，大大減小表面粗糙度值，從而提高滾壓加工效果和生產效率。因此，超聲滾壓加工對于工件的精加工和超精加工具有重要意義。

超聲滾壓裝置主要是由超聲電源、換能器、變幅桿、滾輪組成。其中超聲電源提供超聲頻的電信號，換能器將高頻電能轉換為機械振動，通過變幅桿將縱向振動傳至滾輪中心并放大振幅，在滾輪中心位置激發滾輪的超聲頻的彎曲振動，振動在滾輪邊緣達到最大。在變幅桿的節點處安裝軸承，通過軸承將變幅桿固定在夾具上，夾具固定在滾壓機工作臺上，實現對工件的超聲滾壓加工。在超聲滾壓裝置設計中，變幅桿和滾輪組成的變幅器的設計是一項關鍵的技術，變幅器設計的好壞起著至關重要的作用。

對于超聲滾壓裝置中的變幅器設計，可以采用變幅桿與滾輪的組裝設計和整體設計。由于滾輪屬于加工工具，按照傳統的設計方法，只要將變幅桿和滾輪分別設計為相同的共振頻率，經過調整后將兩者組裝在一起后，系統還會在設計頻率上發生共振。而整體設計是將滾輪看作大橫截面桿，滾輪為大橫截面桿的彎曲振動。為了較好地設計滾輪與變幅桿組成的變幅器，采用組裝設計和整體設計兩種設計方法，建立振動微分方程，求出頻率方程，用數值方法得出了變幅器設計參數的理論解，并用有限元法對設計的變幅器進行分析，對兩種設計方法進行對比，說明整體設計的變幅器較好。

1 兩種變幅器的設計

根據超聲滾壓加工工藝要求，超聲滾壓裝置的工作頻率為20 kHz。采用階梯形變幅桿，滾輪為圓盤狀，如圖1所示。為減少超聲能量在界面損耗，取變幅桿和滾輪的材料相同，為Cr12MoV，主要參數為:彈性模量E=206 GPa;泊松比μ=0.3;質量密度ρ=7 700 kg/m3。綜合考慮，取端面直徑分別為20 mm和15 mm。根據加工工藝要求，滾輪的半徑為30 mm。其中變幅桿為縱向振動，滾輪為彎曲振動。

1.1 變幅器的傳統設計

在超聲滾壓加工中，階梯型變幅桿是由兩段不同截面積的均勻桿組成，其均勻截面桿的波動方程為:

兩段截面桿中的質點位移為:

則質點位移為:

令ξa=0，則得變幅桿位移節點x0=λ/4－a，其頻率方程為:

選用71804C軸承，考慮軸承寬度為7 mm，解得節點x0=3.5 mm，a=61.15 mm，b=62.68 mm，放大倍數Mp=1.77。

為了驗證頻率方程求解的精度，運用有限元軟件Marc對變幅桿的設計結果進行分析，其材料常數及結構尺寸與實際設計計算完全相同。單元類型為八節點六面體單元，采用映射法生成網格，利用Lanczos方法對變幅桿進行模態分析，其振型如圖2所示。變幅桿的縱向振動頻率為20 620 kHz，放大倍數為1.75，與理論計算相近。分析結果如圖3所示。

為了實現變幅器共振，使其共振頻率為20 kHz，不斷調整變幅桿的參數，增加變幅桿小端長度，通過仿真計算，當變幅桿的參數為:a=61.15 mm，b=65.76 mm時滿足要求。

在設計超聲滾壓裝置過程中，以Mindlin理論為基礎，將滾輪看作圓形薄板振動，設在振動過程中其上任一點位移為ω，其振動微分方程為:

則圓盤上質點振動函數為:

彎曲圓盤振動時，邊緣自由，其邊界條件為:

求得彎曲圓盤的振動頻率為:

運用MATLAB解得滾輪的寬度為 h=8.025 8 mm。為了驗證滾輪的求解精度，取滾輪的材料參數及結構尺寸同實際設計計算完全相同，用有限元軟件Marc分析，測得滾輪的諧振頻率為18.74 kHz，與固有頻率20 kHz相差較大，如圖4所示。為了滿足共振要求發現不斷調整滾輪的參數，增大滾輪的厚度，可使其達到共振頻率20 kHz，此時滾輪的厚度h=8.886 mm。經有限元分析，其模態如圖5所示。

將調整參數后的變幅桿和滾輪組裝在一起，運用有限元軟件Marc進行模態分析，如圖6所示，其共振頻率為20.74 kHz，此時變幅器的長度為135.796 mm?？v向振動的變幅桿與彎曲振動的滾輪耦合后頻率發生了偏移。對組裝的變幅器進行諧響應分析，分析結果如圖7、圖8所示。在變幅桿左端施加0.005 mm的振幅，發現滾輪邊緣的縱向振動的最大振幅達到0.008 84 mm，彎曲振動振幅到達0.009 52 mm，此時放大倍數為1.9，可見滾輪具有放大振幅的作用。

傳統小家電市場成熟穩增，強大的渠道優勢結合品牌優勢下基本形成了穩定的“美、蘇、九”三足鼎立格局，占據65%以上的市場份額，而小米2018年憑借與宜家聯合及微創新（顏值優勢等）占據越來越多的新小家電市場份額，成為了小家電的攪局者。

1.2 變幅器的整體設計

前面討論變幅器中的變幅桿是在端面自由時的情況下進行的，沒有考慮滾輪作為負載對變幅桿共振頻率及振幅分布的影響。在超聲滾壓裝置中，滾輪連接到變幅桿的末端對工件進行加工，由于滾輪尺寸及質量大，所以它對變幅桿是有一定的抗性負載。它對變幅桿的共振頻率有一定的影響，對放大系數也有一定的影響。另一方面，在滾壓加工中，滾輪的尺寸對加工有一定的影響，滾輪的寬度是不能被任意調整的。因此傳統的設計方法不能適用這種情況。所以根據滾輪與變幅桿在連接面的耦合關系及各自的動力學方程，建立變幅桿和滾輪整體設計的模型。

在超聲滾壓裝置中，滾輪對變幅桿的影響是不可忽略的。由于滾輪可看作盤狀形工件，在這種情況下，可將滾輪看作變幅桿的一部分，只是截面尺寸較大，因此可將變幅桿和滾輪整體設計為大橫截面變幅桿。

加工過程中，滾輪的外圓為自由端面，所以它的邊界條件為:

當r=D3/2時，彎矩為根據超聲滾壓工藝要求，滾輪輸出端的振幅為:

變幅桿與滾輪交界部分的邊界條件:當L=b，r=D2/2時，變幅桿位移等于滾輪的位移為

變幅桿的位移導數等于滾輪的位移導數，即

整理以上各式，化簡得:

通過 MATLAB 計算得:A0= －26.467×10－6，B0=2.666 ×10－6，取b=60 mm，Ab= －44.559 ×10－6，Bb=－14.877 ×10－6。

根據變幅桿的軸徑，選用71804C角接觸球軸承，考慮軸承寬度為7 mm，且軸承安裝在節點處，可得:

解得:Aa= －44.559 ×10－6，Ba= －522.712 ×10－6，a= －56.458 mm。

則各質點的振動位移為:

將整體設計的變幅器，運用有限元軟件Marc進行模態分析如圖9所示，其共振頻率為20.76 kHz，與傳統設計變幅器的諧振頻率幾乎相等，其長度為 124.458 mm，比傳統設計的變幅器尺寸較小。另外，滾輪尺寸及質量也較小，有利于減小變幅器的阻抗負載，更有利于超聲系統諧振。對整體設計的變幅器進行諧響應分析，分析結果如圖10、圖11所示，在變幅桿左端施加0.005 mm的振幅，發現滾輪為彎曲振動，滾輪邊緣的縱向振動的最大振幅達到0.008 27 mm，彎曲振動振幅到達0.008 87 mm，此時放大倍數為1.774，滾輪的放大振幅的作用不是很明顯。這是因為整體設計考慮了滾輪作為負載的存在，變幅比發生了變化，而且是變小的。雖然空載時的變幅比很大，但此時的輸入阻抗也很大，使之不能與換能器匹配，因而是不適用的。而有負載時，輸入阻抗為有限值，說明變幅比與阻抗有關系。有負載時，變幅比比空載時的小。在此基礎上設計的變幅器，進行動力學分析，驗證了設計理論完全可行，把變幅桿和負載一起考慮是減小設計誤差的好方法。

2 實驗研究

為了驗證整體設計的變幅器可行性，采用阻抗分析儀對整體設計的變幅器進行測試。設備參數為:阻抗精度:±0.08%;頻率范圍為:40 Hz～110 MHz;阻抗測量范圍為:3～5 mΩ。測試結果如圖12所示。通過測試發現:整體設計變幅器的諧振頻率與設計頻率誤差較小，阻抗較小，作為負載對超聲系統的共振效果影響較小。說明整體設計變幅器的理論正確，且設計的變幅器可滿足實際要求。

3 結語

(1)運用解析法，求出兩種變幅器的較精確的解析解，發現組裝變幅器的變幅桿較長，剛性差，整體設計的超聲滾壓變幅器尺寸較小，整體結構緊湊，具有較好的穩定性。經有限元仿真分析，整體設計的變幅器可滿足所需要求。

(2)通過仿真發現，超聲滾壓變幅器中的滾輪為彎曲振動，且滾輪具有放大振幅的作用。由于考慮滾輪作為負載對變幅桿的影響，整體設計的變幅器的放大倍數比組裝設計的變幅器稍小。

(3)組裝設計的超聲滾壓變幅器沒有考慮滾輪作為負載的影響，由于滾輪的質量較大，且諧振頻率與超聲振動系統的諧振頻率不一致，為非諧振負載，導致耦合后系統的頻率發生偏移，未能達到良好的諧振效果，超出系統電源允許范圍，導致過載。而整體設計考慮滾輪作為負載對變幅桿的影響，且整體設計的變幅器中滾輪厚寬度尺寸及質量比較小，有利于減小變幅器的阻抗負載，更有利于超聲系統諧振，保證了超聲振動頻率一致性。

［1］林仲茂.超聲變幅桿的原理和設計［M］.北京:科學出版社，1987:190－199.

［2］袁艷玲，馬玉平，王得勝.彎曲振動圓盤振動參數設計方法［J］.機械工程師，2004(10):46－48.

［3］王時英，呂明，軋鋼.彎曲振動圓盤變幅器的動力學特性研究［J］.太原理工大學學報，2008，39(3):253 －256.

［4］王愛玲，祝錫晶，吳秀玲.功率超聲振動加工技術［M］.北京:國防工業出版社，2007:132－134.

［5］張云電.超聲加工及其應用［M］.北京:國防工業出版社，1995.

［6］鄭建新，羅傲梅，劉傳紹.超聲表面強化技術的研究進展［J］.制造技術與機床，2012(10):32－36.

［7］施聶杰爾.精密零件冷壓加工［M］.袁幼卿，唐梓榮，方佩敏，譯.北京:機械工業出版社，1958:55－58.

［8］王婷.超聲表面滾壓加工改善40Cr鋼綜合性能研究［D］.天津:天津大學，2008.

［9］何霞輝.超聲旋壓裝置設計與研究［D］.長沙:中南大學，2011.

［10］陳火紅，楊劍，薛小春，等.新編Marc有限元實例教程［M］.北京:機械工業出版社，2007.

［11］顧煜炯，楊昆，嚴宗迅.超聲變幅器的機械阻抗分析［J］.現代電力，1999，16(1):25 －29.