一堂沒有結尾的復習課

安徽省碭山中學 辛 民 （郵編：235300）

尊重學生的想法，善待學生的思維，正確把握教學契機，并作出積極的反應，是形成高效課堂，提高復習效果的有效策略.

1 問題背景

在進行重要不等式復習時，課前備課組討論認為不等式知識點多，覆蓋面廣，思想方法內涵豐富，應用廣泛，作為研究數學的重要工具滲透在數學的眾多章節，既是中等數學的重要內容，又是學習高等數學的必要基礎，也是高考重點考查的內容之一.基于上述認識《重要不等式及應用》教學設計，基本過程是師生先共同回憶梳理闡釋常見的基本不等式，精選高考試題說明不等式的簡單應用，不料課堂教學剛剛開始即出現了意想不到的結果，是收是放、是羈是疏，兩種不同的教育理念的碰撞，肯定是兩種不同教學結果.筆者采取了順應學生貼著學生最近發展區探究前行的教學方法取得了較好的效果，以下展示整個原生態教學過程，與同行共享教育的愉快.

2 教學過程

師：由于不等式：a2＋b2≥2ab（a，b∈R，a＝b時取等號）具有變式多、應用廣、內涵豐富，因此稱其為重要不等式，今天我們就以它為基礎進行展開復習，請舉例說明它在數學、生活中的應用：

生1：直角三角形斜邊長為定值，等腰三角形的面積最大.

師：如何用數學語言說明！

生2：（性格比較內向，與同桌小聲交流）直角三角形斜邊為定值時等腰三角形面積有最大值，自然會問三角形中一角及對邊為定值，面積是否存在最大值？如何求？

（教與學的碰撞，產生思維的火花，稍縱即逝.決定放棄課前的預設，順應學生，就此問題探究展開教學）

師：很好！學問貴在疑問，有了疑問就能激發思考，請同學們利用已有的知識、展開聯想解答生2的問題.

生3：既然直角三角形推廣為一般三角形，直角三角形中問題用勾股定理解決，一般三角形可考慮余弦定理，按這一思路我有如下解法：

已知，在ΔABC中，AB＝c，c＞0，∠ACB＝θ，θ∈ （0，π），求ΔABC面積的最大值.

解 如圖，設BC＝a，AC＝b，由余弦定理得：

所以當ΔABC為等腰三角形時面積最大.

師：利用類比我們既可以發現問題、也可以解決問題，希望同學們在今后的學習中多思、多想、多問，誰還有想法？

生4：利用正弦定理我不能進行到底，但我想此法應該行！

至此以下我沒有辦法完成.

師：解決問題遇到障礙時，重新審視題目挖掘題設條件，矯正解題思路是掃除障礙順利解答的有效策略，請思考題目中還有沒有條件沒有用？如何用？

生4：題目中定值角度還沒有利用，即α＋β＝π－θ，

師：如何將α、β與α＋β聯系起來？

生5：（臉上露出微笑）可以！

cos（α－β）－cos（α＋β）＝ 2sinαsinβ得2sinαsinβ≤1＋cosθ（α＝β時取等號）

師：解題遇到困難時，再次審視題目條件、結論，充分利用條件可以為徹底解決問題增加正能量.

生6：受此啟發，我利用射影定理得到過程：

解 設CA＝a，CB＝b，∠CBA＝α，∠CAB＝β由射影定理得：

由于cos（α＋β）＋cos（α－β）＝2cosαcosβ

所以2cosαcosβ≤1－cosθ，不等號方向相反，無法進行下去.

師：題目理解無誤，公式、知識運用正確，結果出現矛盾，就需要我們重新梳理解題思路，檢查解題的每一步是否合理是否正確.

事實上，第一次利用重要不等式的條件不具備.但是我們有理由相信既然用正、余弦定理能解決，用射影定理就一定能解決，關鍵是如何正確的利用射影定理及不等式放縮？

生7：生6解答利用不等式時不能保證acosα、bcosβ為正值、相等，故運用不等式錯誤，可作如下變形：

師：充分挖掘題目的隱含條件，保證定理、定義的運用的條件滿足，是正確解題的前提.

生8：要求三角形面積的最大值，底邊為定值，只要求點A到直線BC的距離最大值，可得到如下解法：

解 設∠CBA＝α，∠CAB＝β，點A到BC的距離為d，則c＝d（cotα＋cotβ）

師：很好，由三角形面積等于底乘高，底邊長為定值，因此只需求高的最大值即可，由此可以看出從原始定義出發是解決問題的有效方法.

生9：由題設條件可知，三角形的頂點C可以認為是在以AB為弦圓弧上運動的點，顯然點C在圓弧的中點時，三角形的面積最大，此時三角形為等腰三角形.

師：解法簡潔、自然，從問題的本質出發是優化解題過程的有效策略.

生10：利用向量運算我得到了如下解法：

師：多角度、多層面認識問題，是深化問題的理解，優化解題過程提高解題能力的重要環節，誰還有什么想法？

生11：剛才的問題可以認為是對線段的張角為定值，構成三角形面積的最值問題，變換題目條件得到下面問題：

已知：在ΔABC中，AB＝a（a＞0），CB＋CA＝l（l＞0），求ΔABC面積的最大值.

眾生：顯然，點C的運動軌跡是橢圓，當點C位于橢圓短軸端點時面積最大.

師：問題精彩，解答漂亮，充分顯示了我們的聰明智慧.

生12：老師我也有一個問題：

已知AB＝c，以線段AB為弦弧長為l，求弓形的面積的最大值.

生13：

師：質疑是自主學習重要形式，是修正錯誤、完善認識重要途徑，主動思考是質疑的前提，完善認識提高能力是長期質疑的必然結果.一個問題兩種解答，孰對孰錯，請同學們認真思考！

生15：弧長、弦長都確定時，所在的圓的半徑是唯一確定的值，因此弓形唯一.

事實上：當弓形所在的扇形弧長小于半圓時，設圓的半徑為r，則圓心角的弧度數為，在ΔOBA中，，即，顯然，由數形結合知：有唯一解.

當弓形的弧長大于半圓時，同樣可以說明.

師：合作、交流，是深化理解形成正確認識、提高能力重要途徑.

生16：老師：我也有一個問題，

已知：四邊形ABCD一邊AB＝c（c＞0），其他三邊長的和為l，求四邊形ABCD面積的最大值.

我不能利用已知條件表示四邊形的面積，是否可增加一個條件，使得四邊形的面積容易表示.

生17：增加一個條件，將四邊形特殊化，如四邊形ABCD是以AB為底邊的等腰梯形就可以啦.

解 如圖，設等腰梯形的腰長為x，則高可表示為

叮—叮—叮—下課鈴響起了.

思緒不得不停，經梳理布置如下作業：

課后請同學們完成下面的問題，有興趣的同學請繼續思考，一般四邊形面積的表達式；

閱讀數學（選修2－1）中類比推理；

幾何證明選講（選修4－1）中的閱讀材料：定長閉曲線最大面積問題.

3 幾點感悟

（1）真正有效的課堂，不是教師用多快的速度把一個完整的知識體系呈現給學生，而是通過基本的數學活動豐富學生的思維方法、理解基本原理和核心概念，在學生的需要處自然地設置學生要學的問題，捕捉偶發的教育契機與智慧的火花，并做積極地回應，在教學的開始為了解學生對定理的理解程度，設計“試舉例說明重要不等式在數學生活中應用”的問題，思維起點低，方向明確，順應學生思維的形成與發展規律，引起了學生的思維共鳴使學生產生問題意識，激發學生認識的沖動性和思維的活躍性，有利于學生從本質和源頭上理解知識，讓探究的思路自然、流暢.

（2）高三復習不同于新課學習、章節的復習，是學生站在高中數學整體高度上“二次學習”，學生已具備了較豐富的知識，初步具有了一定數學思考能力，這為教師引導學生探究問題提供了有利條件.但是如何讓學生自然地投入到自主學習之中，不斷地在愉悅的學習過程中體驗成功的樂趣，從而使學習變得輕松自在，顯然教師的適時引導、指導是十分必要的，筆者認為，在起始階段設置恰當問題，引入話題，在思維受阻適時疏導（如生4、7等），在關鍵處給予引導，在方法技能上實行指導，不斷的引發學生思考，讓學生的思維自然而然地投入到探究學習之中.

（3）數學教學的最終目的，并不是讓學生記住多少知識，而重要的是能夠使他們自然領悟到學習數學的思想方法及人生哲理.本節課學習過程以學生為中心、以問題為線索，始終以“發現、解決、再發現、再解決”牽動學生的思維，使他們親身經歷了問題的探究過程，深刻領悟科學的研究方法，使學生在理解、掌握知識的同時，開放知識、質疑知識、批判知識、探究知識、反思知識、創新知識，從而獲得智慧的力量，感受到了知識發展的迂回曲折，有利于求實、說理、批判、質疑等理性思維的培養，進一步激發學生學習數學的熱情.

本節課雖沒有按照課前的預設完成教學任務，但是在學生思維的深處留下的痕跡是課前無法預知的，正如章建躍博士說，課堂教學中，如果我們的教學不能打動學生，學生對我們的教學無動于衷，那么他們就不可能心領神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能無功而返.