根的判別式的等價形式及其推論

湖北省赤壁市車站學校 李道生 王荊洲 （郵編：201302）

眾所周知，根的判別式是判斷一元二次方程有無實數根的重要方法，經過對其結構形式的深入研究與全面分析，我們發現它在解決其他數學問題，特別是不等式問題中有著重要的應用.為此，首先必須換一個角度、換一種形式表述根的判別式，如此才能拓展其應用前景，帶給我們耳目一新回味無窮的思維快感.

根的判別式：“若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根，則b2－4ac≥0”.

若設方程ax2＋bx＋c＝0的實根為m，則根據根的定義有：am2＋bm＋c＝0，于是，我們得到根的判別式的等價形式：“若am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數），則b2≥4ac”.

特殊地，取m＝±1，則有推論：“若a±b＋c＝0（a≠0），則b2≥4ac”.

有些競賽題如果通過如此等價的根的判別式來思考，則可考察我們敏銳的觀察能力，培養我們思維的靈巧性，使問題獲得簡潔巧妙的解法.茲舉例如下：

例2 設a、b、c是實數，a＋b＋c＝0，abc＝1，

求證a、b、c中有且只有一個數不小于.

證明 由題設可知，a≠0，b≠0，c≠0，又因為a＋b＋c＝0，abc＝1，所以a、b、c中有且只有一個正數，不妨設b＞0.

例3 實數x、y、z滿足x＝6－y，z2＝xy－9，求證：x＝y.

證明x＝6－y?x－6＋y＝0?62≥4xy?xy≤9，

又z2＝xy－9，?z2≤0?z＝0，進而易得：x＝y＝3.

用此類似的方法，我們可輕易解決以下難題：

1.“若a、b、c均為實數，且a＋b＋c＝0，abc＝2，那么｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值達到________（湖北省黃岡市初中數學競賽試題）.

2.已知a、b、c均為實數，且a－b＝8，ab＋c2＋16＝0，求證：a＋b＋c＝0.

則x2y＋z的值為__________（1998年上海市初中數學競賽試題）

最后，我們給出有關根的判別式的其它變換形式，供大家學習思考.

命題1 已知am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數）

（1）若m＝－，則b2＝4ac；

（2）若m≠－，則b2＞4ac.

命題2 已知am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數）

（1）若b2＝4ac，則m＝－；

（2）若b2＞4ac，則m≠－.

命題3 若am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數），則存在常n數，使

（1）mn＝，m＋n＝－；

（2）an2＋bn＋c＝0.

根的判別式貌似簡單平常，但從求新求變的角度去思考，我們就能從中挖掘出許多令我們意想不到的結果，可謂平凡中隱含著奇特.