發揮“所求”在解題中的作用

安徽省淮北市實驗高中 紀迎春 （郵編：235000）

解數學題一般的思路都是從題中所給的已知條件出發，利用所學知識，通過推導，直接得出正確結論——題目的所求或所證，即從已知到所求.但有時由于題中已知條件過于抽象、復雜，往往使解題者有無從下手的感覺，影響問題的解決，如果這時能關注一下題中的“所求”，從中發現其隱含的重要信息，則可使解題者有“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的美妙感覺.這里僅就2013年3月7日安徽省江南十校高三聯考數學試卷中的幾個問題談一些不成熟的感受.

例1 （理科第15題）已知△ABC的內角A、B、C成等差數列，且A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則下列命題中正確的有__________（把所有正確的命題序號都填上）.

①B＝；

②若a、b、c成等比數列，則△ABC為等邊三角形；

③若a＝2c，則△ABC為銳角三角形；

⑤若tanA＋tanC＋＞0，則△ABC為鈍角三角形.

例2 （文科第10題）對于集合｛a1，a2，…，an｝和常數a0，定義：

本題同樣也是文科生錯誤率較高的一道題，原因是學生對

的化簡有畏懼感，同時也會因為化簡時公式的運用不當或計算有誤，而得不出正確的結論，但如果注意觀察題中的所求，即所要選擇的四個選項，會發現其實不是四選一，而是二選一，ω要么是定值，要么是與a0有關的一個值，到底是哪一個結果，只要讓a0取兩個不同的特殊值檢驗，若為同一值，就選這個值對應的選項，若不為同一值，則選（D）.此時學生只要取a0＝0和a0＝π，就很快可以計算出ω的值均為，問題也就很快得到解決.

例3 （理科第18題）如圖1，直角梯形ABCD中，∠A＝ ∠B＝90°，AD＝AB＝2，BC＝3，E、F分別是AD、BC上的兩點，且AE＝BF＝1，G為AB中點，將四邊形ABFE沿EF折起到（如圖2）所示的位置，使得EG⊥GC，連接AD、BC、AC得（圖2）所示六面體.

（Ⅰ）求證：EG⊥ 平面CFG；

（Ⅱ）求二面角A－CD－E的余弦值.

學生解答本題第（Ⅰ）問基本沒問題，但在做（Ⅱ）時，有很多同學直接就下圖建坐標系F－xyz.而忽略了FB，FC，FE兩兩垂直的證明而丟了分，也有個別學生沒看出FB，FC，FE兩兩垂直而沒建系.實際上只要關注了第（Ⅰ）問的結論EG⊥平面CFG，就很容易推導出FC⊥BF，繼而得出FB，FC，FE兩 兩垂直.

（Ⅰ）求證：｛2n－1an｝為等差數列，并求出數列｛an｝的通項；

觀察要證不等式，可發現：① 左邊是數列｛lnbn｝的前n項和；②右邊是等比數列的和，甚至有的同學會發現右邊是等比數列｛2n－1｝的前n項和；③左邊≥右邊.這時就比較容易想到要在等式bn＋1＝bn·（bn＋1）同取自然對數，得lnbn＋1＝lnbn＋ln（bn＋1），繼而得lnbn＋1＞2lnbn.或由等式bn＋1＝bn·（bn＋1）知，bn＋1＞，兩邊同取自然對數 得lnbn＋1＞2lnbn.故lnbn＞2lnbn－1＞22lnbn－2＞ … ＞2n－1lnb1＝2n－1，n≥2.n＝1時，lnb1＝lne＝1.

本題也有學生想到用數學歸納法證明，但最終仍會歸結為證明lnbn≥2n－1，n∈N＊.

總之，要想快速準確地完成解題，不僅要有基本的數學知識和解題能力，還要學會從“所求”中挖掘有用信息，才能在茫茫求解線索中，尋找到快速正確的道路，達到“柳暗花明又一村”的收獲.以上只是在評閱江南十校高三聯考數學試卷時一些粗淺的認識，不到之處敬請批評指正.