解法應追求“普適性”

安徽省五河一中 張同語 （郵編：233300）

1 一個解題案例

在一節高三數學復習課上，一位教師出示了這樣一道例題：已知多項式（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，求a1＋2a2＋3a3＋…＋50a50的值.

讓學生思考片刻后，教師便在黑板上給出了如下的一個精彩解法：

解 由（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50兩邊對x求導得：

50（1＋x）49＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋50a50x49，再令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋50a50＝50×249.

在學生既驚奇又興奮的時候，教師很快跟進補充一道變式題：已知多項式

（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，求a1＋2a2＋…＋25a25的值，讓學生思考解答.

從學生的解答反饋看，非常糟糕，全班只有極少數幾位做對了，其余同學幾乎都在模仿老師的解法，求導賦值后，不知如何進行下去.

2 學生為什么“懂而不會”？

學生之所以“懂而不會”，問題在于教師所給解法屬于巧法，不是該例題的本質性解法.筆者認為，教師教給學生的解法是否好，其標準不是看解題是否簡明，奇巧，而應該看其解法是否是通性通法，因為只有通性通法才具有普適性，否則，學生對巧法雖能聽懂，但不一定能真正理解，那么該例題究竟如何講解才符合學生的認知規律，能讓學生從容、牢固地掌握呢？

3 解法的調整

經筆者與該教師的商討，該教師在另一個班教學該例題時，作了如下調整.

然后讓學生對比該題所求結論與這一性質的差異（二項式系數前因數的差異），通過消除差異，尋求解題的突破口.

那么如何消除差異呢？經師生共同討論，得到如下的兩種具有普適性的解法.

受上述兩種解法的啟發，對于變式題，該班學生絕大部分都能得到正確結果50×248（具體解答略），且從解法2中一些學生還將所求和式中二項式系數前的因數推廣到任意一個等差數列，這種推廣是“求導賦值法”做不到的.

4 感悟

由上述解題案例的分析與思考可以看出，教師對例題的第一次教學是失敗的！對學生而言，“求導賦值法”完全是“魔術師帽子里跑出一個兔子”，只能驚嘆，很難學會.同時，這種帶強烈技巧性的解法，常常會掩蓋問題的本質，誘發學生的思維惰性，一旦問題稍加改變，學生便會束手無策.章建躍先生曾說：“課堂教學中，如果我們的教學不能打動學生，學生對我們的講解無動于衷，那么他們就不可能有心領神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能是無功而返.”僅靠巧法來打動學生，學生也只能停留在“欣賞”層面，不會產生心領神會的心靈共鳴，最終還是“懂而不會”.只有堅持解法的“普適性”才能使學生較好地學會解題、領悟解題，從而達到舉一反三，融合貫通的效果.

1 章建躍.關注學生的感受最重要［J］.中小學數學（高中版），2009（5）