橢圓中兩類張角最大值的簡證、拓廣及其它

安徽省合肥市第一中學 劉 斌 （郵編：230601）

文［1］推證了橢圓中兩類張角的最大值，文中得到的兩個定理結論優美、用途廣泛，是日常教學中必向學生介紹的內容，但該文篇幅冗長、過程繁復.新課標實施后，教學容量較之前大大增加，如何在教學中簡潔地證明這兩個結論，便成為擺在一線教師面前的一個現實問題.本文首先給出這兩類張角最大值的簡潔證明，然后證得定理1的類比及其推廣.文末給出了可以繼續研究的問題.

1 兩個定理的簡證

定理1 橢圓上一點到該橢圓長軸兩端的張角中，以短軸端點到長軸兩端的張角最大.

證明 如圖1，以橢圓長軸A1A2為弦作弧A1BA2切橢圓于短軸端點B，再以A1A2為弦在其同側作圓弧A1DCA2與橢圓相交，記其中一個交點為D，射線OB交該弧于點C，則∠A1DA2＝∠A1CA2＜ ∠A1BA2.

定理2 橢圓上一點到該橢圓兩焦點的張角中，以短軸端點到兩焦點的張角最大.

證明 如下圖2，記∠F1PF2＝q，橢圓的短半軸長｜OB｜＝b，用第一定義結合余弦定理，易知焦點三角形PF1F2的面積S＝b2tan.注意到當且僅當點P與短軸端點B重合時，面積S取到最大值，即tan此時最大，又∈ （0，），故 此時最大，即∠F1PF2＝q＝∠F1BF2時取到最大值.

2 定理1的類比及推廣

定理3 橢圓上一點到該橢圓短軸兩端的張角中，以長軸端點到短軸兩端的張角最小.

證明 如圖3，以橢圓短軸B1B2為弦作弧B1AB2切橢圓于長軸端點A，再以B1B2為弦在其同側作圓弧B1CDB2與橢圓相交，記其中一個交點為D，線段OA交該弧于點C，則 ∠B1DB2＝ ∠B1CB2＞ ∠B1AB2.

事實上，用同樣的方法，可以將定理3進一步推廣為定理4，如圖4，點G1、G2是橢圓短軸延長線上關于中心O對稱的兩點.橢圓上一點到G1、G2兩點的張角中，以長軸端點到G1、G2的張角最小.

3 深入研討

由于橢圓短軸上沒有所謂焦點，因此，定理2的類比似乎無法探討.但我們換個角度，自然想到的一個問題是，將定理4中兩點的位置由短軸延長線上移動到短軸上來，能否得到類似結論？按此思路，經深入研究，筆者利用坐標法綜合到角公式、均值不等式和函數最值，得到了如下結論.

定理5 如圖5，點G1、G2是橢圓短軸上關于中心O對稱的兩點，

令｜OA｜＝a，｜OB1｜＝b，｜OG1｜＝d（d＜b），點P是橢圓上任 意 一 點， 記∠G1PG2＝q，則

（Ⅱ）若a2＋d2＜2b2，則

當且僅當點P位于長軸端點時取到.

繼續研究，我們得到：

定理6 如圖6，點G1、G2是橢圓長軸延長線上關于中心O對稱的兩點，令｜OA｜＝a，｜OB｜＝b，｜OG1｜＝d（d＞a），點P是橢圓上任意一點，記 ∠G1PG2＝q，則

4 可以進一步研究的問題

（1）定理5與定理6的推證過程較繁瑣，限于篇幅，此處從略.尋求定理的簡潔證明自然成為一個可以進一步研究的問題；

（2）在定理6中，當點G1、G2（非焦點）在長軸上且關于中心O對稱時，橢圓上的點對這兩點的張角有怎樣的最值？

1 賀德光.橢圓中兩類張角最大值的推求及其應用［J］.數學通訊，2005（24）