人教A版“橢圓的簡單幾何性質”教材研讀

安徽省六安中學 陸學政 劉清堯 （郵編：237005）

備好課是上好課的先決條件，而教學設計是備課的一種現代發展，是教師的基本功，也是制約教師專業發展的關鍵要素.精心備課（設計）是精致教學的源泉，是教師提高課堂教學能力的首要途徑，其中的一項重要工作就是研讀教材.這既是一個從宏觀角度領會教材的學科特點、確立教材的地位作用的過程，又是一個從微觀角度揣摩教材的編寫意圖、品味教材的脈絡結構的過程，也是一個從操作角度凸現教學的重點難點、分析學生的實際情況、醞釀教學的具體策略的過程.

恰逢筆者之一的劉清堯老師準備開設校級公開課，課題是人教A版選修2－1“橢圓的簡單幾何性質”，以下就是筆者研讀教材時的主要思考.

1 “橢圓的簡單幾何性質”的地位與作用

（1）從學科特點的角度來看.解析幾何的基本問題之一是根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，“橢圓的簡單幾何性質”則是學生第一次較為系統地學習在解析幾何中如何用代數方法研究曲線性質，既包括研究哪些方面的性質，也包括利用何種方法手段進行研究；既有形的直觀，更有數的嚴謹.這對后續根據方程研究雙曲線、拋物線乃至一般曲線的幾何性質都具有“示范”與“標桿”作用.應在這個高度上整體把握本節課的教學.

（2）從知識方法的角度來看.一方面，橢圓的基本量a、b、c、e被賦予了簡明的幾何意義，便于從不同的側面把握橢圓的圖形特征，橢圓的幾何性質與其它知識相聯系，對于研究圓錐曲線中的范圍、最值等問題都有重要意義；另一方面，本節內容蘊含了函數觀點、不等式方法、方程思想、變量代換、數形結合等基本數學思想方法，典型而豐富，教學時應“小中見大”，適時提煉上述思想方法，提升學生的數學素養.

（3）從學生發展的角度來看.對橢圓簡單幾何性質的研究有利于培養學生觀察、分析、抽象概括、推理論證、數形結合等數學能力，有利于培養學生嚴謹的數學態度和思維習慣.教學時應立足于引導學生自己提出要研究的問題、確定研究的方法、評價研究的成果、完善研究的過程，以促進學生發展的最大化.

2 “橢圓的簡單幾何性質”教材研讀

2.1 第43頁正文前兩段及旁白

研讀這一段教材，可以得出對本節課的兩點總體認識：

（1）本節課學習的直接基礎是橢圓的定義（幾何特征）及橢圓的標準方程，任務是利用橢圓的標準方程研究它的幾何性質，這恰恰涵蓋了解析幾何研究的兩個主要問題：根據條件求曲線方程，通過方程研究曲線性質.

（2）由于是初次研究曲線的幾何性質，學生往往對研究哪些方面不甚了解，難以整體把握具體的研究角度，教師應發揮自身的主導作用，幫助學生明確：曲線的幾何性質，一般包括曲線的形狀、大小、對稱性、位置等，并且是利用曲線的方程進行研究的.

因此，引入新課時，教師要讓學生思考：解析幾何主要研究哪兩個問題？對于橢圓，已經研究了什么，還需要研究什么？如何研究？

2.2 第43頁“觀察”

研讀教材此欄目，可以透視出編者的如下意圖：

（1）橢圓的諸多幾何性質中，離心率的引入需要研究兩個乃至多個橢圓（橢圓的扁平程度是一個相對概念），而范圍、對稱性、頂點只需研究單個橢圓，根據“由易到難”的原則，本欄目先解決單個橢圓的幾何性質問題，離心率的學習則相對獨立.

（2）研究橢圓的幾何性質，不能直接從方程入手，而是“先直觀后抽象”、“先感性后理性”，即先對橢圓的形狀從直觀上進行觀察，“猜想”出橢圓的范圍、對稱性、頂點等幾何性質.又因為“形缺數時難入微”，所以必須“用思維幫助眼睛”，即利用橢圓的標準方程，通過嚴格的代數推理驗證“猜想”.這樣做，充分體現了“由形到數，以數促形”，降低了思維的起點和坡度，符合學生的認知基礎和思維特點.

因此，利用課件或實物教具，引導學生“觀察”、“發現”、“猜想”是必不可少的，教師絕不能包辦代替.另外，這些性質被學生“發現”的先后順序也可能不同，教學中要盡量順應學生的思路，不能完全拘泥于教材的順序.

2.3 性質1——“范圍”

教材指出，學生“看出”范圍是不難的，重點是利用方程（代數方法）去“推導”范圍，這里蘊含著兩個重要信息：

（2）“以形助數”.在用代數方法得出x、y的取值范圍后，要及時回到圖形，體會“范圍”的幾何意義.這里，除了矩形框以外，教材在圖中特別標出了橢圓的“特征三角形”——RtΔB2OF2，該三角形以a為斜邊長、b和c為直角邊長，蘊含了關系式a2＝b2＋c2以及cos∠OF2B2＝＝e（離心率）.四個這樣的直角三角形合并后，與矩形框一起構成了橢圓的“內部支架”和“外部框架”，對理解與掌握橢圓的基本知識并形成網絡、解決橢圓的有關問題都具有重要的價值.

2.4 性質2——“對稱性”

“對稱”在很多學生的認知基礎中仍然停留在“翻折或旋轉后重合”的籠統印象，尚不能自如地從數學的角度對圖形對稱性的本質進行精確度量.若這個問題得不到有效解決，教材的編寫意圖則難以實現.事實上，圖形對稱性的本質是點的對稱性，即曲線上任意一點P關于某點（直線）的對稱點P′仍在該曲線上.反映在解析幾何中，涉及到求對稱點的坐標、根據點的坐標是否滿足曲線方程來判斷該點是否在曲線上，這是處理對稱性問題的關鍵，是教材利用標準方程揭示橢圓為什么關于x軸、y軸和坐標原點對稱的根基.

2.5 性質3——“頂點”

這里，雖然涉及了三個概念：頂點、長軸與短軸，但是它們的地位有所不同.具體來說，教材明確指出了橢圓頂點的定義：橢圓與其對稱軸的交點（與坐標系選取無關）.只是在標準方程下，橢圓的對稱軸為x軸、y軸，所以，根據標準方程不難求出橢圓的頂點坐標.而橢圓的長軸與短軸是頂點的“衍生物”，只需結合具體圖形能正確指認即可，不必嚴格定義（定義的語言表述也比較拗口）.教材這樣處理是合適的，教學中要注意準確把握尺度.

2.6 性質4——“離心率”

離心率的教學是本節的難點.仔細研讀教材后，筆者有以下幾點認識：

（1）“思考”欄目必要而合理.

（2）教材中離心率概念的形成顯得突兀，第46頁的“探究”應提前而不能滯后.

如圖，若有學生提出固定a、看b的大小來比較扁平程度時，教師可追問：對于a、b分別都不等的兩個橢圓，如何比較呢？學生自然想到用比值，類似于通分那樣將分母化為相同后再比較新的分子的大小.另外，教師可適時提示學生：類比用三角函數刻畫直線的傾斜程度，在特征三角形（RtΔBFO）中，有；在 RtΔBAO中，也有這些量都可以用來刻畫橢圓的扁平程度.然后依據“就簡原則”，可以考慮采用.只有這樣，才能充分尊重學生的認知規律，讓學生的思維“自然地流淌”，才能為提出離心率的概念、也為分析離心率大小與橢圓扁平程度的關系奠定堅實基礎.

（3）教材第45頁中的“邊空”，教學時應充分利用.

限于篇幅，關于教材例習題的研讀與教學處理從略.

3 結語

為什么要研讀教材？實在是因為教材常常會被教師粗淺地理解，粗放地使用，也因為教材有時會抑制教師教學過程的生動性和主動性.新課改以來，類似于“不是教教材，而是用教材教”這樣的口號耳熟能詳，但真正能落到實處的教師并不多見，原因在于：要想創造性地使用教材，首先必須深刻地理解與領會教材，沒有理解就沒有創造.我們既不能盲從教材，更不能對教材的博大精深視而不見，而應提倡對教材的批判性占有.這些，都需要在精心備課的過程中深入地研讀教材、品味教材.而現實情況又如何呢？正如華東師范大學周彬教授所說：目前，教師花在批改作業上的時間往往是最多的，至于花在備課（研讀教材）上的時間，不是說最少，但實在是虧欠太多，遠遠配不上其應有的重要程度.

1 普通高中課程標準實驗教科書（人教A版選修2－1）［M］.人民教育出版社，2009，5

2 普通高中課程標準實驗教科書教師教學用書（人教A版選修2－1）［M］.人民教育出版社，2009（6）

3 普通高中數學課程標準（實驗）［M］.人民教育出版社，2003（4）

4 徐光考，蔣燕飛.橢圓離心率的創造性教學［J］.中學數學教學參考，2005（1，2）

5 曹才翰，章建躍.中學數學教學概論（第二版）［M］.北京師范大學出版社，2008（4）