如何打好函數概念這張牌（續）

北京市第八十中學 索云旺 張啟華 （郵編：100102）

山西長治第二中學 張銳軍 （郵編：046000）

（續上期）

4 教學過程

（1課時.北京市朝陽區公開課，授課對象：北京市第八十中學科學創新實驗班學生，基礎較好，有一定自學能力、推理能力和創造能力.點評：第八屆蘇步青數學教育獲獎者、特級教師張銳軍）

4.1 創設情境，提出研究問題

師：利用數學方法或數學的眼光研究運動事物或變化現象的著眼點是什么？以公路上勻速行駛的汽車為例.

點評：本問題的提出是為了讓學生了解函數概念產生的背景，感受函數概念源于“現實”的基本思想.但考慮到提的問題太大，教師舉出一個學生非常熟悉的公路上勻速行駛的汽車，引發學生思考，激發探究的欲望.

4.2 學生探索，推斷依賴關系

生1：著眼點是汽車行駛里程、汽車行駛時間，行駛里程依賴行駛時間變化而變化的關系.

師：你的著眼點是變量，以及變量之間的依賴關系，請再舉幾個例子.

生2：我國人口問題，變量為人口數、時間（年），人口數依賴時間（年）的變化而變化的關系.

生3：每天氣溫依賴時間變化而變化的關系，變量為氣溫、時間.

師：如果我們去掉這些例子的現實背景，它們的共同點是什么？

生3：都有兩個變量，其中一個變量依賴于另一個變量變化而變化.

師：很好！現實世界中，像這樣涉及兩個變量，且其中一個變量依賴于另一個變量變化而變化的事物或現象的例子多嗎？

眾生：很多！

師：正因為這樣的例子多，值得我們研究.在初中我們曾經把前一個變量叫做后一個變量的？

生4：函數.

師：請同學敘述一下初中學過的函數定義？

生5：（初中定義，略）

師：根據這個定義，要說y是x的函數，這兩個變量之間必須具備怎樣的關系？

生6：“對應關系”

4.3 語言變式，識別對應關系

師：與我們剛才說的“依賴關系”意思一致嗎？

點評：通過語言變式，換一種說法，識別出“對應關系”，為用“對應關系”描述變量之間依賴關系奠定基礎.

4.4 師生交流，歸類對應關系

師：好！兩個變量之間是怎么對應的？是一一對應嗎？

點評：雖然不少老師并不贊成在“一一對應”或“多一對應”下工夫，但是，我們的教學實踐和教學觀察認為：這是學生逐步認識、學會用“對應關系”刻畫變量之間的依賴關系不可缺少的必經階段！數學知識的生長不在于記住一個個抽象的概念和命題，而在于和它之前的背景知識交融在一起形成解決問題的能力.

生7：有些是“一對一”的對應關系，也有“多對一”的對應關系.

師：你能通過舉例說得具體些嗎？（略）.經過同學們的討論，兩個變量滿足的是“一對一”與“多對一”的對應關系，所以，函數是兩個變量之間的一種特殊的對應關系.

請同學再舉一個自變量x與因變量y是“多對一”對應關系的函數例子.

生8：二次函數y＝x2，是“多對一”的對應關系.

師：非常好！你能用集合語言表示這個函數中自變量x的取值范圍、因變量y的取值范圍嗎？

生9：x的取值范圍是R，因變量y的取值范圍是｛y｜y≥0｝.

4.5 轉換情境，推斷對應關系

對以下三個問題“鑒別”出變量，寫出變量的取值集合，推斷“對應關系”，并判斷變量之間是否是函數關系？

問題1、問題2、問題3（略，人教社A版教材第15頁）

生10：三個問題中兩個變量之間都是函數關系，因為符合函數定義.

師：請用集合語言回答三個問題中兩個變量之間都是函數關系的理由.

生11：對問題1，對于數集A中的任意一個時間t，在數集B中都有唯一確定的高度h和它對應，所以h是t的函數.對問題2、問題3（同樣，略）

師：如果我們拋去三個問題的現實背景，要說變量y（y∈B）是變量x（x∈A）的函數，如何表述呢？

生12：對于數集A的每一個x，按照“一對一”或“多對一”的“對應關系”，在數集B中都有唯一確定的y和它對應，我們稱y是x的函數.

師：很好！要說y是x的函數，對于數集A的有幾個x同時與數集B中都有唯一確定的y和它對應重要嗎？

生12：不重要.

師：那請你再概括一下？

生12：對于數集A的每一個x，按照某種“對應關系”，在數集B中都有唯一確定的y和它對應，我們稱y是x的函數.

4.6 師生交流，評論對應關系

師：要說變量y是變量x的函數，數集A、數集B、“對應關系”你認為哪個因素更重要些呢？

眾生：“對應關系”

師：很好！兩個數集中兩個變量之間的“對應關系”是“初中定義”中y是x函數的關鍵要素，在它們的“對應關系”下是函數關系，與是否用變量x表示出變量y有關系嗎？

眾生：無關.

師：請舉例說明.

生13：前面公路上勻速行駛汽車的例子中兩個變量s、t滿足“一對一”的對應關系，用變量t可以表示出s，即s＝80t（設汽車行駛的速度是80千米／每小時），問題1中的兩個變量h、t滿足多“對一”的對應關系，用變量t亦可以表示出h，即h＝130t－5t2（課前準備曾讓學生求解過解析式）.但是，同學2、同學3所舉的例子及問題2、問題3中的兩個變量在它們的“對應關系”下，卻無法用一個變量表示出另一個變量，所以兩個數集中的兩個變量在它們的對應關系下是函數關系，與是否用變量x表示出變量y無關.

4.7 創設問題，產生引入f的可能

師：在用圖象、表格表示的“對應關系”下的兩個變量，如果也能用變量x表示出變量y的話，那么我們就可以把在三種類型（解析式、圖象、表格）“對應關系”下的兩個變量，一般地用變量x表示出變量y來，實現統一和諧之美！

點評：制造強烈的、合乎自然邏輯的認知沖突，提出高認知水平的問題，引發學生思考，激發學習的動機與探究的欲望，也有助于提高學生學習的積極性.

生14：引入一個符號就行.

師：你怎么想到引入一個符號呢？

生14：我們剛才為了表達變量的取值范圍用了集合符號，最近學過的集合內容，引入了符號“∈”、“?”，用a∈A表示元素a屬于集合A；用A?B表示集合A是集合B的子集.

師：你太棒了！“∈”、“?”這些符號就是為了用來表達兩個數學對象之間的關系而引入的.其實，數學總是這樣，為了精確和清晰表達內容與問題，總是創造性地引入一些數學符號.那么，要表示兩個數集中變量之間的“對應關系”你覺得用什么數學符號合適呢？（生沉默）.

4.8 喚醒經驗，啟發設計方案

師：以前學習中，你有為表達兩個數集變量之間的“對應關系”而引入數學符號的經驗嗎？

點評：笛卡爾曾說：“我們解決的每一個問題都將成為一個范例用于解決其他問題”.面對一時難以解決的困惑，不妨從“歷史經驗”中尋找啟發.“歷史是最好的啟發式”.［1］

師：那么，要表示兩個數集變量之間的“對應關系”，你們覺得應引入一個什么樣的數學符號呢？

生16：受生15同學的啟發，引入一個符號就可以，并且y可以用引入的符號表示出來.

師：你太棒了！教師板書：符號“Δ”：x→y，且y可以用“Δ”表示出來，師生討論后引入f：x→y（當然，f也可以用g，p，h等表示）.

剛才，生16同學說y可以用f表示出來，而我們前面提出的要研究的問題是變量x表示出變量y來，兩者結合起來，下面我們要研究的問題是什么？

點評：數學符號要便于進行數學思維才有生命力，反過來，為了進行數學思維必須使用數學符號，必須學習和掌握數學語言（由符號表達）.［2］

眾生：用x，f表示出變量y來.

生17：太抽象了（眾生笑）.

4.9 師生交流，啟發尋找思路

師：那怎么辦？遇到抽象的問題如何處理呢，你有想法嗎？

點評：教師應引導學生探索解決問題的方法.波利亞指出：類比提供了一種可能的解題模式.即在解決某個問題之前，先“選出一個類似的、較易的問題，去解決它，改造它的解法以便用作一個模式，然后利用剛剛建立的模式，以達到原來問題的解決.”

生18：研究一下問題1中是如何用x，f表示出變量y的，因為問題1中的函數有具體“解析式”.

師：好！那請你具體說一說吧！

生18：

4.10 轉換表征，建構f的涵義

師：為了更直觀、清晰表達你寫的兩個數集A、B之中變量x與y之間的“對應關系”，你還有其它方法嗎？

點評：多元表征理論認為：數學概念的本質往往隱含在豐富多彩的表現形式中.概念的表征形式常見有：語言表征、符號表征、圖形表征、操作表征、情景表征等.教學中需要教師對數學概念進行多元表征，力求從直觀形象的角度對數學概念進行挖掘，賦予靜態抽象的數學概念以豐富直觀的背景，促進學生理解.

生19：用Venn圖表示兩個集合，畫上用箭頭表示兩個變量之間的對應關系.所以，對應關系f為：t→130t－5t2＝h.（Venn圖，略）

師：你能舉例說出學過的有“解析式”函數的“對應關系f”嗎？

生20：y＝x2，對應關系f：x→x2＝y；

y＝，對應關系f：x→＝y；

y＝2x＋3，對應關系f：x→2x＋3＝y.

生1同學所舉的例子：

s＝80t，對應關系f：t→80t＝s.

（突然）生21：我似乎找到了問題3的“對應關系”了.將生18同學所計算數值列成表格如下：

這個“表格”就表示了問題1中的對應關系f：t→130t－5t2＝y.

所以，問題3中的表格就蘊含著“對應關系f”，“表格”就是“對應關系f”，即：f：t→n.生2同學所舉的例子：f：t→y（t為時間（年），y為人口數）

師：你太棒了！你怎么想到的？

生21：初中學習分析數據的基本方法，就是用條形圖將它們畫出來，或用緊湊的表格改變數據的排列方式，尋找規律.其實，也是受生19的啟發.

（突然）生22：我也找到了問題2中的“對應關系”，因為圖象中的每個點就表示了給定的一個時間（自變量）所對應的唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應.所以，圖象本身蘊含著“對應關系f”，對每一對（t，s）就是唯一確定的對應關系，即對應關系f：t→s.生3同學所舉的例子f：t→T（t為時間，T為氣溫）.

師：通過上面的討論可以看出，我們引入的符號f：x→y表示“對應關系”是合理的.你能說一下“對應關系f”的含義或功能嗎？

點評：美國數學史家D.J.Struik曾經指出：“一種合適的符號要比一種不良的符號更能反映真理.而合適的符號，它就帶著自己的生命出現，并且它又創造出新的生命來.”［3］

生23：通過上面的討論可以看出：數集B中唯一確定的與數集A中變量x對應的變量y是對變量x實施“對應關系f”得到的.

師：還有其它說法嗎？

生24：y是經過f對應過來的.

生25：“對應關系f”的含義就是使x與y對應起來.

師：三位同學的認識如何？

眾生：鼓掌！

4.11 師生交流，生成符號f（x）

師：你們說得非常精彩？這樣，如何用x，f表示出變量y呢？

點評：如果一個聰明的學生沒有足夠的機會通過自身的經驗來使自己相信，數學符號組成的語言有助于思維，那么，他對代數的這種反感是無可非議的.幫助學生獲得這樣的經驗是教師的一項重要任務，是他最為重要的任務之一.

生25：老師，用x，f的加、減、乘、除等運算都不行.

師：在18世紀，德國數學家萊布尼茲已經解決了該問題，他是將y換成符號f（x），即x→f（x）＝y.

這樣的話，問題1中的對應關系f：t→f（t）＝h；（學生回答，教師板書以下同）

問題2中的對應關系f：t→f（t）＝s；問題3中的對應關系f：t→f（t）＝n.

生20同學所舉的例子中：

y＝x2，對應關系f：x→x2，即f：x→f（x）＝x2＝y；

y＝，對應關系f：x→，即f：x→f（x）＝＝y.

生1同學所舉例子中：s＝80t對應關系f：t→80t＝s，即f：t→f（t）＝80t＝s；

生2同學所舉例子：對應關系f：t→y，即f：t→f（t）＝y（t為時間（年），y為人口數）；

生3同學所舉例子：對應關系f：t→T，即f：t→f（t）＝T（t為時間，T為氣溫）.

同學們還能舉例一些用圖像、表格表示的函數嗎？其對應關系？（略）

所以，一個函數都可以將其“對應關系”表示為f：x→f（x），從而實現了用x、f表示出變量y，即y＝f（x）.

4.12 運用f（x），形成函數概念

師：請運用符號f（x）表述y是x函數的理由.

生26：對于數集A的每一個x，按照某種“對應關系f”，在數集B中都有唯一確定的f（x）和它對應，我們稱y是x的函數.

教師投影教材定義：（高中函數定義略）

4.13 師生交流，理解函數概念

師：談談對教材給出的定義的認識.

點評：概念定義后，必須從不同的側面、不同角度去挖掘，深化理解.一般地，從以下幾個方面理解數學概念：從定義的重要詞句上剖析，找出其內涵和外延；從結構上進行剖析，建立與原認知結構的聯系；通過反例來剖析概念，建立清晰的認知結構.反例辨析的方法主要采用命題判斷與變式（概念變式主要包括：圖形變式、式子變式、符號變式、等價說法等）兩種形式，通過變式利用外延來檢驗概念.

生27：我對定義中值域是數集B的子集不理解，值域和數集B應該是相等.頓時，教室內討論氣氛熱烈.2分鐘后 ——

生28：C?B是對的，定義中數集B不再是實際問題中的數集B，可以允許數集B中的元素比與x對應的f（x）構成的集合中元素多，所以C?B.（多數同學點頭，從個別同學表情來看，仍有困惑.）

師：能否舉例解釋？

生29：如果A＝R，B＝R，按照對應關系f：x→x2，在數集B中都有唯一確定的f（x）與數集A中的每一個元素對應，所以f：A→B為數集A到數集B上的一個函數，記為y＝x2，其值域為：C＝｛f（x）｜f（x）≥0｝，由于數集B中有小于零的數，顯然C?B.

生30：如果按照對應關系f：x→－x2，那么f：A→B也是數集A到數集B上的一個函數，記為y＝－x2，其值域為C＝ ｛f（x）｜f（x）≤0｝，顯然C?B.

生31：通過以上兩位同學的回答，數集A與數集B中的“對應關系f”，有人為“規定”的意思.

師：那你憑什么這么說呢？

生32：給定兩個數集A、B，我們可任意規定一個“對應關系f”，只要使數集A任意元素x，保證數集B中都有唯一確定的元素f（x）與之對應，就建立了一個函數.

師：你太聰明了！同學們，你們能構建一些函數嗎？

生33：A＝R，B＝ ｛1｝，f：x→1，y＝1.

生34：我認為函數值域是由定義域和對應關系決定的.

師：你為什么這么說？

生35：從同學們所舉例子中就可以知道，如函數f（x）＝x2，定義域為 R，值域為｛f（x）｜f（x）≥0｝.

師：很好！你對函數的定義域有怎樣的認識？

生36：定義域中的數必須讓“對應關系f”能對應它.

師：這是什么意思？能幫助他解釋嗎？

生37：他的意思就是說定義域中的數必須做到對應關系“f”有意義才行，換句話說，定義域就是使“對應關系f”有意義的自變量取值集合.

師：很好！你舉個例子吧！

生37：比如f（x）＝，對應關系f：x→，0這個數“對應關系x”對它無能為力，（眾生笑）.所以，函數f（x）＝的定義域為｛x｜x≠0｝.

師：這樣的話，如果判斷兩個函數是否是同一個函數，需要看什么？

眾生：兩個函數的定義域相同，且“對應關系f”完全一致，兩個函數完全相同.

師：舉個例子？（略）

師：好！我們把函數的定義域、對應關系f、值域稱為函數的三要素.對應關系f是使“對應”得以實現的方法和途徑，是聯系x與y的紐帶，從而是函數概念的核心.x與y的關系既互相依賴，又互相制約.

至此，我們學習了函數的初中、高中兩個定義，請同學們舉例說明兩個定義的異同，你認為高中定義有什么優點？

生38：兩個定義的本質是一致的，即它們的定義域、值域、對應關系本質上也是一致.只不過語言的敘述不同，初中定義是從運動變化的語言（教師板書，俗稱“變量說”生動、直觀），高中定義用集合與對應的語言.（教師板書俗稱“對應說”）但是，在判斷y＝1是函數，用初中定義判斷比較勉強，而用高中定義解釋十分自然.

生39：在判斷函數y＝x與y＝是否是同一個函數時，用高中定義也非常方便自然.

師：好！高中定義的優點我們在以后的學習中還會繼續體會.但初中定義由于用變量觀點描述函數比較生動、直觀，今后為了方便，我們有時仍然使用它.

4.14 運用概念，解決實際問題

師：同學們能用高中定義敘述一下所學過的一次函數、二次函數、銳角的三角函數是函數嗎？（略）.

點評：概念的獲得最終是為了獲得思維過程的訓練和更高級的運用.“運用概念的能力是掌握概念的標志”，由于知識的內化的過程本身是建立在原先已有的知識之上的，這樣，原先知識結構的質量就決定了知識生長的數量和質量.

例題1 （教材例題1略）

例題2 （1）函數y＝x2－2x的定義域為｛0，1，2，3｝，那么其值域__________；

（2）下列表示y是x的函數，則函數的值域是________；

點評 本著教學活動、教學目標、測量評估一致性原則，精心選擇幾道難易適中的典型問題，引導學生盡可能獨立地（也可以討論、交流）思考、分析、探索問題，從中感悟函數概念、基本方法的應用.教師針對學生存在的問題，借題發揮，進行示范性講解.教師的分析要重聯系、重轉化、重本質，概括提煉規律，由例及類，教給學生分析問題、解決問題的方法.

4.15 變練演編，鞏固深化概念

Ⅰ（1）設集合M＝ ｛x｜0≤x≤2｝，N＝ ｛y｜0≤y≤2｝，則在下面4個圖形中，能建立從集合M到集合N的函數的有________；

（2）在（1）中函數的圖象與直線x＝a（a∈R）最多有幾個交點____________；

（3）在課堂問題1中，炮彈在發射3秒后爆炸，集合A變為C＝｛t｜0≤t≤3｝，其它條件不變，問：h是否還是t的函數？

Ⅱ.試構造一個A到B的函數，且A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝｛y｜0≤y≤1｝.請同學們自己編一道與本題類似的題目，讓同桌解答.

點評 變練是指教師通過對概念、圖形背景、題目的條件或結論、題目的形式等進行多角度、全方位的引申，編制形式多樣（最好是具有探索性、開放性）的問題，讓學生討論、交流、解答，以加深學生對問題的理解；演編是指學生在對知識、問題有較深的理解的基礎上，自己模仿或創造性的編擬數學（變式）題，供全班同學研究或解答.實踐證明，編題實踐是學生概括能力、創新精神和實踐能力得以鍛煉和表現的有效措施，也是豐富課堂內容的有效方法.

4.16 反思小結，提煉升華概念

通過本節課的學習，你對函數概念有了那些新認識？還有哪些收獲？（知識、思想、觀點方面）

點評 回顧在獲得函數概念（y＝f（x））的艱難曲折歷程中師生所做的概括工作.進一步認識y＝f（x）中x、y代表了現實世界中滿足特殊對應關系f的兩個變量，譬如里程，時間等，體會概念是簡化世界的類目.

4.17 引發問題，做好后續鋪墊

師：本節課，我們構建了y＝f（x）這樣的函數模型，來刻畫描述現實世界中運動事物或變化現象.那么，要了解運動事物或變化現象的規律，就需要研究函數y＝f（x）的什么問題？

眾生：變化規律，性質.

師：就是說，要通過研究y＝f（x）的變化規律、性質，來把握事物的變化規律，是我們以后幾節課要學習的內容.

點評 函數一節的教學應成為本章各節的教學典范，即從研究方式上看指數函數、對數函數、冪函數與函數一節是是一致的，同樣是“現實—數學—現實”的過程.事實上，在后續的學習中，這樣的研究過程還會不斷地重復下去，而這樣的過程的不斷重復，就能夠使學生掌握研究數學的一般方法：原來數學研究就是這樣進行的.［4］

4.18 信息反饋，形成性測試（略）

5 教后反思（略）

1 歐陽鋒.數學的藝術［M］.北京：農村讀物出版社，1997，51

2 張楚廷.數學教育心理學［M］.北京：警官教育出版社，1998：127

3 D.J.斯特洛伊克.數學簡史［M］.北京：科學出版社，1956：75－76.

4 石志群.函數［J］.數學通訊增刊，2009（7）