強非線性振動系統極限環振幅控制研究

蔡 萍，唐駕時

(1.湖南大學 機械與運載工程學院，長沙 410082;2.漳州師范學院 數學與信息科學系，福建 漳州 363000)

非線性振動系統分岔研究為非線性動力學研究的重要課題，具有自身的理論意義及應用背景［1］。工程中，分岔控制目的是避免分岔給系統造成不利行為。Hopf分岔作為重要的動態分岔，其控制已引起數學、物理及工程領域極大關注。郁培等［2］利用非線性狀態反饋，提出推遲、消除Hopf分岔及改變分岔解穩定性的控制方法;劉曾榮等［3］結合反饋與非反饋控制，提出非線性系統分岔控制的混合方法。劉爽等［4］通過設計非線性反饋控制器，控制系統Hopf分岔發生、極限環穩定性及幅值，研究耦合非線性相對轉動系統的動力學方程。沈建和等［5］通過正規型計算多尺度攝動過程，獲得極限環振幅與頻率的解析近似表達式，用于一類三維系統。

Van der Pol振子作為自激振動系統具有典型的Hopf分岔特征。最先出現在非線性電路中，繼而在機械、生物、化學、生態學等諸多工程與科學領域中亦發現其存在。Lee等［6］提出非線性能量吸收法，討論Van der Pol振子極限環振幅抑制的兩種結構控制方法。唐駕時等［7］基于非線性反饋控制，利用多尺度法，獲得Van der Pol振子極限環振幅與反饋系數的解析關系。

對弱非線性問題研究已較成熟，求解強非線性振動問題也有一些方法，如Cheung等［8］提出改進的L-P法，解決了一類強非線性振動方程的近似求解問題。唐駕時等［9］利用改進的L-P法研究參數激勵與強迫激勵共同作用的一類強非線性系統余維1分岔問題。Pakdemirli等［10］將L-P展開技術與多尺度法結合提出改進的多尺度法，并成功應用于求解含大參數的強非線性振動問題。對廣義Van der Pol型強非線性振子，本文利用改進的多尺度法，獲得穩定周期解幅值表達式;設計適當線性、非線性反饋控制器，獲得極限環振幅與控制增益之間的近似解析式，通過選擇適當的反饋系數達到控制極限環振幅目的。并數值模擬驗證理論分析的正確性及可行性。

1 極限環振幅計算

考慮廣義Van der Pol振子為:

式中:參數ε為較大數值時，即為強非線性振動方程。令 τ=ωt，則式(1)變為:

應用L-P法［11］，將ω2展成冪級數形式:

與傳統L-P法不同，采用:

按多尺度法［12］將式(2)的解展成冪級數形式:

其中:Ti=εit(i=0，1，…)。將式(4)、(5)代入式(2)，得:

令ε同次冪系數相等，得:

設式(7)的解為:

將式(9)代入式(8)，為避免方程解中出現永年項，令 eiT0系數為0，得:

按改進的多尺度法［10］，若選取D1A=0，則由式(10)解得:

此時ω1較復雜，顯然選擇不合理。故選取ω1=0，則由式(10)解得:

2 極限環振幅控制

2.1 線性狀態反饋控制

式(16)可視為另一個廣義Van der Pol方程:

由上節計算過程，可得受控系統式(16)的極限環幅值表達式為:

極限環幅值隨控制增益k變化，且:① 若k=0，則式(18)與式(14)完全相同;② 若k=-μ，則極限環幅值可控制到最小a=0。

2.2 立方非線性狀態反饋控制

顯然，若k=0，則式(19)、(20)與式(14)完全相同且極限環幅值均隨控制增益k變化。

2.3 平方非線性狀態反饋控制

2.4 聯合控制器

極限環幅值隨控制增益k1及k2變化，且:① 若k1=k2=0，則式(21)與式(14)完全相同;② 若k1=-μ，則極限環幅值可控制到最小a=0;③ 比較式(18)、(20)、(21)可知，在相同控制強度下，聯合控制更有效。

2.5 其它形式控制器

反饋控制器亦可設計成多種形式(方法相同):

3 數值模擬

由上述討論知，系統(1)線性反饋控制器不僅能使幅值a為零，也能使a隨著k的增大而增大;平方非線性反饋控制器在一次近似下不能控制極限環振幅;立方非線性反饋控制器所得幅值預測表達式中含近似頻率ω2，相比另一類三次非線性反饋控制器預測效果稍差;而比較式(20)、式(18)，據方程根及系數關系可知，相同反饋強度下，三次控制器較線性控制器更有效;聯合控制器也能控制幅值到零，且可設計多種組合，達到更好的控制效果。取參數 ε=2=μ=β=1，ξ=-0.2，不同反饋控制器對應的極限環見圖1。控制前極限環幅值為:a=1.765。對選取的三類反饋控制器，控制后極限環幅值分別為:a=2.065，a=1.263，a=1.932。數值模擬結果驗證了幅值控制的有效性。

圖1 系統(1)在不同反饋控制器下極限環Fig.1 Limit cycles in the system(1)for different controllers

表1 不同控制參數下極限環幅值Tab.1 Amplitudes of the limit cycle for various control parameters

4 結論

通過討論廣義Van der Pol型強非線性振子極限環振幅控制，在不改變振動頻率情況下，選擇適當的反饋控制器，利用改進的多尺度法，在一次近似下，所得解析結果與數值模擬結果基本吻合;在不同控制參數下，對較大參數ε=2，相對誤差不超過1%，仍具有較高精確度。

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