基于最小二乘支持向量機的結構地震響應時滯控制算法

趙德奇，李春祥，藍聲寧

(1.上海大學 土木工程系，上海 200072;2.湖南科技大學 土木工程學院，湖南湘潭 411201)

主動控制系統受時滯影響控制效果大大減弱。時滯影響因素［1］主要有:① 液壓系統或電機系統執行控制動作所需時間;② 結構反應從傳感器到控制器傳遞時間及計算控制力所耗時間。因此，如何進行時滯補償以減小時滯對主動控制效果影響為需探究問題。文獻［2-7］提出眾多時滯補償算法，大致可分三種類型:理論型補償、相空間補償及時域補償。理論型時滯補償一般在時滯較小情況下效果較好;時滯較大時，需提供較大控制力。實際控制系統可能出現較大時滯時，為獲得與無時滯相同控制效果，需大幅提高控制力，既不經濟又不實用。相空間補償方法前提為準確獲得延遲狀態參量與結構主頻率。運用不正確的主頻率會導致結構不穩定［6］。針對地震作用，通過預測系統狀態向量或反饋增益實現時域補償更具有實用性。因此，本文將線性二次型控制(Linear Quadratic Regulator，LQR)與最小二乘支持向量機(Least Squares Support Vector Machines，LSSVM)進行集成，建立時滯LSSVMLQR算法。

支持向量機(Support Vector Machines，SVM)是由Vapnik［8］提出的一種學習算法。SVM在分類與回歸方面具有優勢，為解決時滯問題提供了新思路。SVM專門針對有限樣本情況的學習機器，可實現結構風險最小化，將實際問題通過非線性變換轉換到高維特征空間，在高維空間中構造線性決策從而實現原空間中的非線性決策函數，巧妙解決了維數問題［9］;同時也克服了神經網絡存在的過學習與局部極值點的缺陷，具有小樣本學習、全局尋優、泛化能力強等特點［10］。然而，在解決大樣本問題時，SVM由于迭代誤差積累而無法滿足精度要求。為此，Suykens等［11］提出新型的支持向量機—最小二乘支持向量機 (LSSVM)。LSSVM將支持向量機中目標函數不等式約束改為等式約束，將求解二次規劃問題轉化成求解線性方程組，并將經驗風險由偏差一次方改為二次方，避免了不敏感損失函數，大大降低了復雜度，并解決了其中存在的魯棒性、稀疏性及大規模運算問題，運算速度高于一般的SVM，在非線性預測控制中更具優勢。在本文時滯LSSVMLQR算法中，運用LQR算法計算結構所需最優控制力，并設為目標控制力;采用LSSVM對其進行訓練學習，對目標控制力進行回歸預測。取t為結構滯后時間，采用LSSVM回歸預測t時刻后的目標控制力，并實時控制驅動力裝置產生的控制力對結構進行及時控制。

1 最小二乘支持向量機(LSSVM)原理

對給定的學習樣本集(xi，yi)，xi∈Rn，yi∈R，(i=1，…，n)，xi為n維輸入向量，yi為一維輸出。在高維特征空間中構造最優線性函數:

式中:φ為輸入空間Rn到高維特征空間的非線性映射;w，b為待求回歸參數，w為權向量，b為閥值。

據結構風險最小化原理，并考慮函數復雜度及擬合誤差，回歸問題可表示為約束優化問題，即:

約束條件:

用Lagrange方法求解式(2):

式中:C為懲罰因子，α =(α1，α2，…，αn)為 Lagrange乘子。據KKT最優條件進行偏微分處理后所確定的決策函數為:

式中:α，b為求解線性方程組所得模型參數。定義核函數K(x，xi)=〈φ(x)φ(xi)〉，得:

上述算法中核函數K(x，xi)為高維特征空間內積。引入核函數目的即由原始空間中抽取特征，將原始空間中樣本映射為高維特征空間中的向量［12］，如圖1所示。據泛函理論，只要滿足Mercer條件的函數均可作為核函數，不同核函數構造出不同的支持向量機。目前，研究較多的有線性核函數、多項式核函數、高斯核函數及sigmoid核函數等。本文采用徑向基(RBF)核函數:

2 線性二次型最優控制(LQR)

2.1 連續狀態模型

設各層安裝主動控制裝置的n自由度結構如圖2所示，其運動方程為:

圖1 輸入空間映射到高維特征空間圖Fig.1 Nonlinear mapping of input data into a high dimensional feature space

圖2 結構主動控制系統Fig.2 Active control system for structures

式中:{-1}為元素-1的列向量;為地震地面加速度。式(8)即為狀態方程:

設作用在結構上的干擾僅有地震作用，即:

假設結構全部狀態均能觀測到，定義系統二次型泛函為:

求解式(15)可得狀態向量Z，代入式(14)可求得最優驅動力U。

2.2 離散狀態模型

干擾荷載僅考慮地震作用時，結構控制系統離散狀態方程可表示為:

式中:Z(k)，Z(k+1)分別為結構控制系統第k步(對應時間為t=k×Δt)與第k+1時刻的狀態反應;U(k)為第k步主動控制力(k)為第k步地震輸入;Ad，Bd，Dd分別為離散狀態系統矩陣、控制力位置矩陣與干擾作用位置矩陣，可通過A，B，Dg求得。

考慮控制系統存在時滯時，需采用狀態方程求解結構控制系統第k+1的狀態反應，即:

式中:i為時滯步長，對應iΔt的時滯。

將U(k-i)=-GZ(k-i)代入式(17)得:

據結構初始位移及初始速度，用式(18)逐步迭代可求解結構控制系統的地震反應。

式中:Q，R分別為半正定及正定權矩陣，即結構控制系統中的控制參數。

在閉環控制情況下，即tf=∞時的所謂無限時間最優控制全狀態反饋，據Riccati矩陣代數方程:

求出矩陣后，可得所需增益矩陣G:

進而得最優驅動力為:

得結構控制系統狀態方程為:

3 時滯LSSVM-LQR控制算法

時間滯后導致結構主動控制不能及時對結構響應做出有效控制，大大降低了LQR最優控制效果，結構穩定性變差，甚至產生負反應。為此，將LSSVM引入LQR中，先對采集的最優控制力進行LSSVM訓練，并回歸預測第k步時最優控制力U^(k)，則第k+1步狀態向量計算式為:

再由式(14)得:

因此，對LQR最優控制力的學習訓練及回歸預測可轉化為對結構系統狀態向量的學習訓練及回歸預測。形成一個閉環控制，既可保證信息采集方便，亦可保證系統的循環性。時滯LQR控制系統與時滯LSSVM-LQR控制系統模塊見圖3。

圖3 結構時滯LQR與時滯LSSVM-LQR控制系統模塊Fig.3 Block diagram of LQR and SVM-LQR control systems with time-delay

LSSVM訓練時，選取訓練樣本數量至關重要。訓練樣本量越大，訓練速率越慢。故本文取定量數據作為訓練樣本，在保持訓練效果的同時提高程序執行效率及速度。電腦配置:主板/ASUS P8P67、CPU/I7-2600 K 3.4 GHz、內存/3 GB，為考察算法訓練效率，分別取50、100、150、200個數據作為樣本進行訓練，產生的時滯量見表1。

表1 算法訓練效率Tab.1 Training efficiency of the algorithm

表1中數據顯示，樣本數量愈大，算法耗時越長。樣本量達到某一值時算法預測的準確性已有保證。本文在綜合考察預測效果與訓練效率基礎上選取100個數據作為訓練樣本。由于在初采集數據的一段時間里樣本量較少，LSSVM回歸預測效果會有較大誤差，因此可約定樣本量下限為10。樣本量小于10時，不對驅動裝置實施時滯補償。LSSVM-LQR控制算法流程見圖4。

圖4 LSSVM-LQR控制算法流程圖Fig.4 Flowchart of the LSSVM-LQR control algorithm

4 LSSVM-LQR控制算法數值驗證與比較

考慮3層框架結構，質量mi=2×106(kg)，層間剛度ki=1 ×109(N/m)(i=1，2，3)，其質量、剛度矩陣為:

由表2～表5看出，時滯對結構控制效果產生不利影響，且隨滯后時間的增長，控制效果越差。Taft波與上海人工波1在時滯達0.18 s時，因時滯而增大的結構響應約為60%，若不對時滯進行控制，必導致最終控制結果發散。采用時滯LSSVM-LQR算法對結構進行控制后，因時滯產生的不利影響得到明顯改善。另外，由表中不難發現其規律:① 時滯較短時，時滯LSSVMLQR算法補償效果較明顯，不僅幾乎完全彌補因時滯產生增大部分響應，甚至可減小到較無時滯時效果更好，因在循環迭代過程中好的補償效果得以積累與加強;而隨著時滯加長，時滯LSSVM-LQR算法補償效果逐漸下降，因隨著時滯的加長，預測效果下降，導致補償效果下降，但依然保持較好的補償效果。② 時滯LSSVM-LQR算法對峰值位移補償效果較好，而對峰值加速度及最大控制力補償效果稍差。因時滯LSSVM-LQR算法基于位移與速度進行反饋預測控制，即算法重點補償了位移及速度因時滯產生的不利影響，因此對位移的補償效果較好，而對加速度與控制力的補償效果稍差。③ 時滯較短時，時滯LSSVM-LQR算法補償效果的離散性較大。因時滯較短時，時滯對結構影響較小(即計算時滯補償效果時分母較小)，時滯補償效果對LSSVM預測數據敏感性較大，會出現最大時滯補償達700%而最差的時滯補償達-210%情形。④ 時滯LSSVM-LQR算法對四種波的補償效果各不相同。主要原因為:與核函數形式的選取有一定相關性，不同波對同一種核函數敏感程度不同;核函數參數通過試算方式選取，因時間限制，所選參數不一定最優化。

圖5 地震波Fig.5 Seismic waves

表2 El Centro波作用下結構控制比較Tab.2 Comparison of structural control under the El Centro wave

表3 Loma Prieta波作用下結構控制比較Tab.3 Comparison of structural control under the Loma Prieta wave

表4 Taft波作用下結構控制比較Tab.4 Comparison of structural control under the Taft wave

表5 上海人工波1作用下結構控制比較Tab.5 Comparison of structural control under the Shanghai artificial wave 1

圖6 四種地震波作用下時滯一定時三種控制算法下結構的峰值位移Fig.6 Peak displacements of the structure with three control algorithms with given time-delay under four kinds of waves

圖7 四種地震波作用下時滯一定時三種控制算法下結構的峰值加速度Fig.7 Peak accelerations of the structure with three control algorithms with given time-delay under four kinds of waves

圖8 四種地震波作用下時滯一定時三種控制算法下結構的最大控制力Fig.8 Maximum control forces of the structure with three control algorithms with given time-delay under four kinds of waves

圖9 El Centro波作用下三種控制算法下結構的頂層響應曲線(時滯0.14 s)Fig.9 Displacement of top storey with three control algorithms with time delay under El Centro wave(time-delay:0.14 s)

圖10 Loma prieta波作用下三種控制算法下結構的頂層響應曲線(時滯0.18 s)Fig.10 Displacement of top storey with three control algorithms with time delay under Loma prieta wave(time-delay:0.18 s)

圖11 Taft波作用下三種控制算法下結構的頂層響應曲線 (時滯0.18 s)Fig.11 Displacement of top storey with three control algorithms with time delay under Taft wave(time-delay:0.18 s)

圖12 上海人工波1波作用下三種控制算法下結構的頂層響應曲線 (時滯0.18 s)Fig.12 Displacement of top storey with three control algorithms with time delay under Shanghai artificial wave 1(time-delay:0.18 s)

圖6～圖8為四種地震波作用下時滯一定(時滯最長情況)時三種控制算法下結構的峰值位移、峰值加速度、最大控制力。由圖看出，即使時滯較長時，時滯LSSVM-LQR算法的控制效果依然介于無時滯LQR控制與時滯LQR控制效果之間，且其中對Loma Prieta與Taft波的控制效果依然保持較好的控制水平。圖9為El Centro波作用下不同控制算法時(時滯0.14 s)結構頂層時程響應曲線;圖10為Loma prieta波作用下不同控制算法時(時滯0.18 s)結構頂層時程響應曲線;圖11為Taft波作用下不同控制算法時(時滯0.18 s)結構頂層時程響應曲線;圖12為上海人工波1作用下不同控制算法時(時滯0.18 s)結構頂層時程響應曲線。由圖9～圖12知，時滯LQR算法的控制效果較無時滯LQR算法差很多，而時滯LSSVM-LQR算法控制效果較無時滯LQR控制效果稍差些，但較時滯LQR算法控制效果好很多，尤其在極值點附近，效果更明顯。只有離極值點較遠的極少點的控制效果較時滯LQR控制效果差。值得注意的是，LSSVM-LQR使結構響應趨于平坦的效果有利于抗震。時滯較長時，由于LSSVM回歸預測點離最近觀測點時間間隔太長，LSSVM預測的最優控制力與實際數據誤差較大，LSSVM-LQR的控制效果變得不理想，嚴重時也會導致響應發散。

5 結論

本文通過建立結構時滯LSSVM-LQR地震響應智能控制算法，基于 MATLAB平臺，編制時滯 LSSVMLQR算法的執行程序;用3層框架結構進行數值驗證與比較。結論如下:

(1)時滯對結構控制效果與穩定性具有極不利影響，對不同地震波敏感程度亦不相同，其敏感度與地震加速度正反變換速率相關。

(2)時滯LSSVM-LQR可有效減小時滯對結構控制效果影響，但控制效果隨時滯的過度加長而變差。

(3)在時滯LSSVM-LQR中，徑向基核函數參數的選取對結構地震響應控制效果有很大影響。

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